Pascal'sche Identität < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:51 Mi 12.09.2007 | | Autor: | mg07 |
| Aufgabe | Für die Potenzsummen S(p über n) := [mm] 1^p [/mm] + [mm] 2^p [/mm] + ... + [mm] n^p [/mm] beweise man die von Pascal stammende Identität
(p+1)S(p über n) + [mm] \vektor{p+1 \\ 2}S(p-1 [/mm] über n) + [mm] \vektor{p+1 \\ 3}S(p-2 [/mm] über n) + ... + S(0 über n) = (n+1)^(p+1)-1 |
Ich habe bereits auf der Lösungsseite des Buches, aus dem ich die Aufgabe habe, nachgeschaut, aber es hilft mit dann doch nicht weiter. Als Tipp wird genannt, dass man für k = 1, 2, ..., n die Bernoullientwicklungen von (k+1)^(p+1) ausrechnen und jeweils addieren soll.
Bei mir sieht es dann soweit so aus:
(1+1)^(p+1) + (2+1)^(p+1) + ... + (n+1)^(p+1)
= 1 + [mm] \vektor{p+1 \\ 1}*1^1 [/mm] + [mm] \vektor{p+1 \\ 2}*1^2 [/mm] + ... + [mm] \vektor{p+1 \\ p+1} [/mm] 1^(p+1)
+ 1 + [mm] \vektor{p+1 \\ 1}*2^1 [/mm] + [mm] \vektor{p+1 \\ 2}*2^2 [/mm] + ... + [mm] \vektor{p+1 \\ p+1} [/mm] 2^(p+1)
+ ...
+ 1 + [mm] \vektor{p+1 \\ 1}*n^1 [/mm] + [mm] \vektor{p+1 \\ 2}*n^2 [/mm] + ... + [mm] \vektor{p+1 \\ p+1} [/mm] n^(p+1)
= n*1 + [mm] \vektor{p+1 \\ 1}*(1^1 [/mm] + [mm] 2^1 [/mm] + ... [mm] +n^1) [/mm] + [mm] \vektor{p+1 \\ 2}*(1^2 [/mm] + [mm] 2^2 [/mm] + ... [mm] +n^2) [/mm]
+ ... + [mm] \vektor{p+1 \\ p+1}*(1^{p+1} [/mm] + 2^(p+1) + ... + n^(p+1))
= n + [mm] \vektor{p+1 \\ 1}S(1 [/mm] über n) + [mm] \vektor{p+1 \\ 2}S(2 [/mm] über n) + ... + [mm] \vektor{p+1 \\ p+1}S(p+1 [/mm] über n)
Hoffentlich ist das auch soweit richtig und ihr blickt eingermassen durch.
Dieses S(p über n) schreibt sich [mm] S\vektor{p \\ n} [/mm] ohne die Vektorklammer.
Die Exponenten der Potenzsummen sind halt im Gegensatz zu dem, was ich zeigen soll, von Summand zu Summand von 1 bis (p+1) aufsteigend. Der erste Summand n meiner letztlichen Summe ist gleich dem letzten Glied der zu zeigenden Summe [mm] \vektor{p+1 \\ p+1}S(p+1 [/mm] über n). Ausserdem ist die Summe der ganzen Binomialentwicklungen natürlich grösser. Sie enthält ja bereits (n+1)^(p+1), das grösser als (n+1)^(p+1)-1 ist.
Mir fällt nix zu ein. Es ärgert mich, selbst mitm Tipp gehts nicht weiter. Ich freue mich über jegliche Antworten und bin derweil noch ein wenig im Netz nach einer Antwort stöbern.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:08 Mi 12.09.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
Ich glaube, du bist fast fertig mit dem Nachweis, du musst nur einige Umformungen machen.
1. [mm](1+1)^{p+1} + (2+1)^{p+1} + \dots + (n+1)^{p+1} = 1^{p+1} + 2^{p+1} + \dots + n^{p+1} + (n+1)^{p+1} - 1 = S\vektor{p+1 \\ n} + n^{p+1} -1 [/mm]
2. [mm]\vektor{p+1 \\ p+1} = 1[/mm]
3. [mm]\vektor{p+1 \\ k} = \vektor{p+1 \\ p+1 - k}[/mm], also [mm]\vektor{p+1 \\ p} = \vektor{p+1\\1}[/mm], [mm]\vektor{p+1 \\ p-1} = \vektor{p+1\\2}[/mm], usw.
4. [mm]S\vektor{0 \\ n} = n[/mm]
Viele Grüße
Rainer
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