Permutation und sgn < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Ich betrachte mal die Permutation [mm] \pi=(1423).
[/mm]
Bestimmt [mm] sgn(\pi) [/mm] |
Hallo und eine erfolgreiche neue Woche,
so mal etwas gesammelt und gefunden:
[mm] sign(\pi)=+1 \gdw [/mm] Anzahl der Fehlstände ist gerade oder [mm] \pi [/mm] lässt sich als "Produkt" einer geraden Anzahl an Transpositionen schreiben.
[mm] sign(\pi)=-1 \gdw [/mm] Anzahl der Fehlstände ist ungerade oder [mm] \pi [/mm] lässt sich als "Produkt" einer ungeraden Anzahl an Transpositionen schreiben.
So und dann mal mein Bsp. untersucht:
1. Möglichkeit:
(1234) [mm] \rightarrow [/mm] (1243) [mm] \rightarrow [/mm] (1423) [mm] \Rightarrow [/mm] zwei Transpositionen, also [mm] sgn(\pi)=+1
[/mm]
2. Möglichkeit: Fehlstand: i<j und [mm] \pi(i)>\pi(j)
[/mm]
2<3 und 4>2
2<4 und 4>3
also zwei Fehlstände, also [mm] sgn(\pi)=+1
[/mm]
Habe ich das richtig gemacht?
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Hallo Big_Head78,
> Ich betrachte mal die Permutation [mm]\pi=(1423).[/mm]
> Bestimmt [mm]sgn(\pi)[/mm]
> Hallo und eine erfolgreiche neue Woche,
>
> so mal etwas gesammelt und gefunden:
>
> [mm]sign(\pi)=+1 \gdw[/mm] Anzahl der Fehlstände ist gerade oder
> [mm]\pi[/mm] lässt sich als "Produkt" einer geraden Anzahl an
> Transpositionen schreiben.
>
>
> [mm]sign(\pi)=-1 \gdw[/mm] Anzahl der Fehlstände ist ungerade oder
> [mm]\pi[/mm] lässt sich als "Produkt" einer ungeraden Anzahl an
> Transpositionen schreiben.
>
>
> So und dann mal mein Bsp. untersucht:
>
> 1. Möglichkeit:
> (1234) [mm]\rightarrow[/mm] (1243) [mm]\rightarrow[/mm] (1423) [mm]\Rightarrow[/mm]
> zwei Transpositionen, also [mm]sgn(\pi)=+1[/mm]
>
> 2. Möglichkeit: Fehlstand: i<j und [mm]\pi(i)>\pi(j)[/mm]
> 2<3 und 4>2
> 2<4 und 4>3
> also zwei Fehlstände, also [mm]sgn(\pi)=+1[/mm]
>
> Habe ich das richtig gemacht?
>
Ja.![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruss
MathePower
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| Aufgabe | Permuttationen in [mm] S_{5}
[/mm]
[mm] \rho=\pmat{ 1 & 2 &3 & 4 &5 \\ 2&3&4&1&5 } [/mm]
[mm] \sigma=\pmat{ 1 & 2 &3 & 4 &5 \\ 3&5&4&2&1 } [/mm]
[mm] \tau=\pmat{ 1 & 2 &3 & 4 &5 \\ 3&2&5&4&1 } [/mm]
Berechne:
sgn( [mm] \rho [/mm] )
[mm] sgn(\sigma) [/mm]
[mm] sgn(\tau) [/mm]
[mm] sgn(\rho \circ \sigma) [/mm]
[mm] sgn(\rho \circ \tau) [/mm]
[mm] sgn(\rho \circ \rho) [/mm]
[mm] sgn(\sigma \circ \rho) [/mm]
[mm] sgn(\rho^{-1}) [/mm]
[mm] sgn(\tau \circ \rho \circ \tau^{-1}) [/mm]
[mm] sgn(\rho \circ \rho \circ \rho) [/mm] |
Kaum mal ne Aufgabe dazu und schon wird's problematisch...
So dann habe ich mal eine Frage zu [mm] sgn(\tau):
[/mm]
Fehlstände:
1<5 & 3>1
2<5 & 2>1
3<5 & 5>1
4<5 & 4>1
3<4 & 5>4
1<2 & 3>2
also sechs Fehlstände [mm] \Rightarrow sgn(\tau)=+1
[/mm]
Richtig?
Und wie würde ich das dann mit Transpositionen lösen?
(12345) [mm] \rightarrow [/mm] (15342) [mm] \rightarrow [/mm] (13542) [mm] \rightarrow [/mm] ????
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Hallo Big_Head78,
> Permuttationen in [mm]S_{5}[/mm]
>
> [mm]\rho=\pmat{ 1 & 2 &3 & 4 &5 \\ 2&3&4&1&5 }[/mm]
>
> [mm]\tau=\pmat{ 1 & 2 &3 & 4 &5 \\ 3&5&4&2&1 }[/mm]
>
> [mm]\sigma=\pmat{ 1 & 2 &3 & 4 &5 \\ 3&2&5&4&1 }[/mm]
>
> Berechne:
> sgn( [mm]\rho[/mm] )
> [mm]sgn(\sigma)[/mm]
> [mm]sgn(\tau)[/mm]
> [mm]sgn(\rho \circ \sigma)[/mm]
> [mm]sgn(\rho \circ \tau)[/mm]
> [mm]sgn(\rho \circ \rho)[/mm]
> [mm]sgn(\sigma \circ \rho)[/mm]
> [mm]sgn(\rho^{-1})[/mm]
> [mm]sgn(\tau \circ \rho \circ \tau^{-1})[/mm]
> [mm]sgn(\rho \circ \rho \circ \rho)[/mm]
> Kaum mal ne Aufgabe dazu
> und schon wird's problematisch...
>
> So dann habe ich mal eine Frage zu [mm]sgn(\tau):[/mm]
>
> Fehlstände:
>
> 1<5 & 3>1
> 2<5 & 2>1
> 3<5 & 5>1
> 4<5 & 4>1
> 3<4 & 5>4
> 1<2 & 3>2
>
> also sechs Fehlstände [mm]\Rightarrow sgn(\tau)=+1[/mm]
>
> Richtig?
>
Es stimmt, daß es eine gerade Anzahl Fehlstände gibt,
aber nicht 6.
> Und wie würde ich das dann mit Transpositionen lösen?
> (12345) [mm]\rightarrow[/mm] (15342) [mm]\rightarrow[/mm] (13542) [mm]\rightarrow[/mm]
> ????
Es gilt für [mm]\rho, \ \sigma \in S_{5}[/mm]:
[mm]sgn(\rho \circ \sigma)=sgn(\rho)*sgn(\sigma)[/mm]
Gruss
MathePower
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Ich hatte im Aufgabentext leider [mm] \tau [/mm] und [mm] \sigma [/mm] vertauscht...habe ich jetzt aber korrigiert. Stimmt meine Lösung denn dann?
Und wie komme ich bei [mm] sgn(\tau) [/mm] über Transpositionen zur Lösung.
Danke für den Hinweis zu [mm] sgn(\rho \circ \tau)= sgn(\rho) [/mm] * [mm] sgn(\tau). [/mm] :)
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Hallo Big_Head78,
> Ich hatte im Aufgabentext leider [mm]\tau[/mm] und [mm]\sigma[/mm]
> vertauscht...habe ich jetzt aber korrigiert. Stimmt meine
> Lösung denn dann?
>
Es stimmt, daß es sich um eine gerade Permutation handelt.
> Und wie komme ich bei [mm]sgn(\tau)[/mm] über Transpositionen zur
> Lösung.
>
> Danke für den Hinweis zu [mm]sgn(\rho \circ \tau)= sgn(\rho)[/mm] *
> [mm]sgn(\tau).[/mm] :)
Gruss
MathePower
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