Picard-Lindelöf am konkr. Bsp. < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben sind die DGL'en
a) [mm]y''=y^3*exp(xy)[/mm]
b) [mm]y''=y^3*sin(xy)[/mm]
mit den AW [mm]y(a)=b[/mm] und [mm]y'(a)=c[/mm].
Weisen Sie nach, dass diese DGL'en eine lokal eindeutige Lösung besitzen, jedoch keine global eindeutige. |
Vom Prinzip her weiß ich, wie ich vorgehen muss: Zunächst transformiere ich diese Gleichungen in DGL'en erster Ordnung.
Nach Peano existieren bedingt durch die Stetigkeit der rechten Seiten Lösungen.
Jetzt aber zu Picard-Lindelöf LOKAL:
Ich möchte ja jetzt nachweisen, dass die rechten Seiten zumindest lokal Lipschitz-stetig sind. Wie mache ich das konkret?
Meine Idee bisher:
Entweder i) ich untersuche, ob die partielle Ableitung nach y nach oben hin beschränkt ist.
Oder ii) ich untersuche die Lipschitzbedingung, bspw. für a):
[mm]|f(x,y_1)-f(x,y_2)|\leq L*|y_1-y_2|[/mm]
[mm]\Rightarrow |y_1^3*e^{xy_1}-y_2^3*e^{xy_2}|...[/mm]
An dieser Stelle komme ich jedoch nicht wirklich weiter...
Wie ich Picard-Lindelöf GLOBAL nachweisen soll, ist mir daher schleierhaft...
Kann mir da jemand weiterhelfen? Bin ich völlig auf der falschen Fährte?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:45 Mo 03.12.2012 | | Autor: | majorlee |
*nachobenschieb* [Sorry, nur für den Fall, dass die Frage übersehen wurde... Da ich die Antwort nur sehr zeitnah brauche... Danke für das Verständnis!]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:20 Do 06.12.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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