matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Hochschulmathe
  Status Uni-Analysis
    Status Reelle Analysis
    Status UKomplx
    Status Uni-Kompl. Analysis
    Status Differentialgl.
    Status Maß/Integrat-Theorie
    Status Funktionalanalysis
    Status Transformationen
    Status UAnaSon
  Status Uni-Lin. Algebra
    Status Abbildungen
    Status ULinAGS
    Status Matrizen
    Status Determinanten
    Status Eigenwerte
    Status Skalarprodukte
    Status Moduln/Vektorraum
    Status Sonstiges
  Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Algebra
    Status Zahlentheorie
  Status Diskrete Mathematik
    Status Diskrete Optimierung
    Status Graphentheorie
    Status Operations Research
    Status Relationen
  Status Fachdidaktik
  Status Finanz+Versicherung
    Status Uni-Finanzmathematik
    Status Uni-Versicherungsmat
  Status Logik+Mengenlehre
    Status Logik
    Status Mengenlehre
  Status Numerik
    Status Lin. Gleich.-systeme
    Status Nichtlineare Gleich.
    Status Interpol.+Approx.
    Status Integr.+Differenz.
    Status Eigenwertprobleme
    Status DGL
  Status Uni-Stochastik
    Status Kombinatorik
    Status math. Statistik
    Status Statistik (Anwend.)
    Status stoch. Analysis
    Status stoch. Prozesse
    Status Wahrscheinlichkeitstheorie
  Status Topologie+Geometrie
  Status Uni-Sonstiges

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenDifferentialgleichungenPoisson-Gleichung
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Deutsch • Englisch • Französisch • Latein • Spanisch • Russisch • Griechisch
Forum "Differentialgleichungen" - Poisson-Gleichung
Poisson-Gleichung < DGL < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Differentialgleichungen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Poisson-Gleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:44 So 18.05.2014
Autor: m0ppel

Gegeben ist die Poisson-Gleichung in einer Dimension:
[mm]-\Delta u =f[/mm] in [mm]\Omega[/mm] mit [mm]f \in C(\Omega)[/mm] und [mm]u(0)=u_0[/mm] & [mm]u(1)=u_1[/mm].
In diesem Fall hat die Green's Funktion folgende Form:
[mm]G(x,y)=\begin{cases} (1-y)x, & \mbox{für } 0\le x\le y \\ y(1-x), & \mbox{für } y \le x \le 1\end{cases}[/mm]

Es gilt: [mm]G(\circ,y)[/mm] harmonisch in [mm]\Omega\setminus \{y\}[/mm]
[mm]G(0,y)=G(1,y)=0 \forall y[/mm]
[mm]G(x,y)=G(y,x)[/mm].

Benutze die Green's Funktion um die Lösung u für den Fall [mm]u_0=u_1=0[/mm] zu konstruieren.

Liebe Community,
ich brühte gerade über der oben stehenden Aufgabe und hab noch meine Probleme mit diesem Thema.
Bis jetzt hab ich folgendes:

Ich habe im Vorlesung Skript die Aussage gefunden: Wenn u auf dem Rand 0 ist und f Hölderstetig, dann gilt: [mm]u(x)=\integral_{\Omega}{G(s,x)f(s) ds}[/mm]
Damit folgt:

[mm]u(x)=\integral_{\Omega}{G(s,x)f(s) ds} =\integral_{0}^{x}{(1-x)s f(s) ds}+\integral_{x}^{1}{(1-s)x f(s) ds} =(1-x)\integral_{0}^{x}{s f(s) ds}+x*\integral_{x}^{1}{f(s) ds}+x*\integral_{x}^{1}{s*f(s) ds}[/mm]

wenn [mm]F(x)[/mm] mit [mm]F'(x)=f(x)[/mm] existiert. (Darf ich die Existenz annehmen?) Dann folgt:
[mm] u(x)=(1-x)(x*F(x)-0*F(0)-(F(x)-F(0)))+x(F(1)-F(x))+x*(F(1)-xF(x)-F(1)+F(x))[/mm]
[mm] u(x)=2x*F(x)-F(x)+F(0)+x^2(F(x)+xF(0)+x^2F(1)[/mm]

Wenn ich jetzt die Randbedingungen einsetzt:
[mm] 0=u(0)=2*0*F(0)-F(0)+F(0)+0^2(F(0)+0F(0)+0^2(F(1)=0[/mm]
[mm] 0=u(1)=2*F(1)-F(1)+F(0)+1^2(F(1)+F(0)+1^2F(1)=F(1)[/mm]

Wenn ich jetzt keine Rechenfehler hab, dann hätte ich:
[mm]u(x)=2x*F(x)-F(x)+F(0)+x^2F(x)+xF(0)=(x^2+2x-1)F(x)+(1+x)*F(0)[/mm]


Ist das so richtig?

Vielen lieben Dank schon mal für jede Hilfe.
Lg

        
Bezug
Poisson-Gleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:33 Do 22.05.2014
Autor: fred97


> Gegeben ist die Poisson-Gleichung in einer Dimension:
> [mm]-\Delta u =f[/mm] in [mm]\Omega[/mm] mit [mm]f \in C(\Omega)[/mm] und [mm]u(0)=u_0[/mm] &
> [mm]u(1)=u_1[/mm].
>  In diesem Fall hat die Green's Funktion folgende Form:
> [mm]G(x,y)=\begin{cases} (1-y)x, & \mbox{für } 0\le x\le y \\ y(1-x), & \mbox{für } y \le x \le 1\end{cases}[/mm]
>  
> Es gilt: [mm]G(\circ,y)[/mm] harmonisch in [mm]\Omega\setminus \{y\}[/mm]
> [mm]G(0,y)=G(1,y)=0 \forall y[/mm]
> [mm]G(x,y)=G(y,x)[/mm].
>  
> Benutze die Green's Funktion um die Lösung u für den Fall
> [mm]u_0=u_1=0[/mm] zu konstruieren.
>  
> Liebe Community,
> ich brühte gerade über der oben stehenden Aufgabe und hab
> noch meine Probleme mit diesem Thema.
> Bis jetzt hab ich folgendes:
>
> Ich habe im Vorlesung Skript die Aussage gefunden: Wenn u
> auf dem Rand 0 ist und f Hölderstetig, dann gilt:
> [mm]u(x)=\integral_{\Omega}{G(s,x)f(s) ds}[/mm]
>  Damit folgt:
>  
> [mm]u(x)=\integral_{\Omega}{G(s,x)f(s) ds} =\integral_{0}^{x}{(1-x)s f(s) ds}+\integral_{x}^{1}{(1-s)x f(s) ds} =(1-x)\integral_{0}^{x}{s f(s) ds}+x*\integral_{x}^{1}{f(s) ds}+x*\integral_{x}^{1}{s*f(s) ds}[/mm]

Aus dem letzten "+" solltest Du ein "-" machen.


>  
> wenn [mm]F(x)[/mm] mit [mm]F'(x)=f(x)[/mm] existiert. (Darf ich die Existenz
> annehmen?)

f hat als stetige Funktion auf [0,1] dort eine Stammfunktion.




> Dann folgt:
> [mm]u(x)=(1-x)(x*F(x)-0*F(0)-(F(x)-F(0)))+x(F(1)-F(x))+x*(F(1)-xF(x)-F(1)+F(x))[/mm]

Uuuh ! Was hast Du da gemacht ? Ich vermute Du hast partiell integriert. Wenn ja, so gings in die Hose. Du hast u.a. das Integral

   [mm] \integral_{0}^{x}{F(s) ds} [/mm]

vermurkst.

FRED

>  [mm]u(x)=2x*F(x)-F(x)+F(0)+x^2(F(x)+xF(0)+x^2F(1)[/mm]
>  Wenn ich jetzt die Randbedingungen einsetzt:
>  [mm]0=u(0)=2*0*F(0)-F(0)+F(0)+0^2(F(0)+0F(0)+0^2(F(1)=0[/mm]
>  [mm]0=u(1)=2*F(1)-F(1)+F(0)+1^2(F(1)+F(0)+1^2F(1)=F(1)[/mm]
>  Wenn ich jetzt keine Rechenfehler hab, dann hätte ich:
>  
> [mm]u(x)=2x*F(x)-F(x)+F(0)+x^2F(x)+xF(0)=(x^2+2x-1)F(x)+(1+x)*F(0)[/mm]
>  
> Ist das so richtig?
>  
> Vielen lieben Dank schon mal für jede Hilfe.
> Lg


Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Differentialgleichungen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.unimatheforum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]