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Forum "stochastische Prozesse" - Poisson-Prozess
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Poisson-Prozess: Tipp
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 13:31 Mo 12.01.2015
Autor: riju

Aufgabe
Das Auftreffen von Nuklearpartikeln auf einen Geigerzähler lasse sich durch einen homogenen Poisson-Prozess mit Intensität [mm] \lambda=1 [/mm] je 4 Sekunden beschreiben. Der Geigerzähler registriere allerdings durchschnittlich nur 3 von 5 Partikeln. Ob ein Partikel registriert wird, sei hierbei unabhängig von der Registrierung anderer Partikel.

(a)
Bestimmen Sie für den Zeitraum von zwei Minuten die durchschnittliche Anzahl:

[mm] (a_{1}) [/mm] der eintreffenden Partikel
[mm] (a_{2}) [/mm] der registrierten Partikel.

(b)
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass im Geigerzähler in einer halben Minute:

[mm] (b_{1}) [/mm] mindestens 4 Partikel eintreffen,
[mm] (b_{2}) [/mm] mindestens 4 Partikel registriert werden.

Ich weiß jetzt nicht ganz genau wie ich das alles Intepretieren soll.

a)
Ich würde jetzt mal meinen, dass alle 4 Sekunden ein Partikel eintrifft. Also treffen in 1 Minute 15 ein. Da im Durchschnitt 3 von 5 Partikel registriert werden, werden in 1 Minute durchschnittlich 9 registriert.
Also macht das
[mm] (a_{1}) [/mm] 30 eintreffende Partikel
[mm](a_{2})[/mm] 18 registrierte Partikel.

[mm] (b_{1}) [/mm]
[mm] P(N^{(e)}(30) \ge 4) = 1-P(N^{(e)}(30) \le 3) = 1-\summe_{j=0}^{3} (\bruch{(\lambda_{e}*30)^j}{j!} * exp(-\lambda_{e}*30) [/mm]

,wobei das e für "eingetroffen" steht.

[mm] (b_{2}) [/mm]
[mm] P(N^{(r)}(30) \ge 4) = 1-P(N^{(r)}(30) \le 3) = 1-\summe_{j=0}^{3} (\bruch{(\lambda_{r}*30)^j}{j!} * exp(-\lambda_{r}*30) [/mm]

,wobei das r für "registriert" steht.

Bei b glaube ich, dass es zwei verschiedene [mm] \lambda [/mm] gibt. Einmal für die eingetroffenen Partikel [mm] \lambda_{e} [/mm] und einmal für die registrierten Partikel [mm] \lambda_{r}. [/mm] Allerdings weiß ich nicht wie ich [mm]\lambda_{e}[/mm] und [mm] \lambda_{r} [/mm] bestimmen muss.

Kann mir da vllt jemand helfen?

Vielen Dank im Voraus
Liebe Grüße
riju

        
Bezug
Poisson-Prozess: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:20 Mi 14.01.2015
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
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