Polstellen, VZW - verwirrt! < Abivorbereitung < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:36 Sa 31.03.2007 | | Autor: | Vannie |
Hallo ihr Lieben,
bin gerade dabei, mich aufs Abi vorzubereiten und mache die Übungsaufgaben für den Pflichtteil im roten Stark-Buch durch :)
Nun bin ich gerade total verwirrt.
Die Aufgabe lautet wie folgt:
Geg. ist die Funktion f durch f(x) = [mm] \bruch{(x² - 2x - 1)}{(x² -1)}
[/mm]
Im a) Teil soll man die Asymptoten angeben. Alles kein Problem.
- waagrechte Asymptote ist y = 1 und senkrechte Asymptoten sind x= 1 und x = -1
Die Stellen x = 1 und x = -1 sind ja folglich Polstellen und wegen der geraden Hochzahl Polstellen OHNE VZW, oder?
Ich bin da gerade total durcheinander, denn im b) - Teil der Aufgabe sind zwei verschiedene Schaubilder (K1 und K2) gegeben, und eine davon soll man der Funktion f(x) zuordnen. Nun gibt es eine mit 4 Nullstellen (K2), die ja schon einmal ausscheidet, weil die Funktion höchstens zwei Nullstellen haben kann. ABER: Dieses Schaubild mit den 4 Nullstellen hat keinen VZW an den Polstellen, während die andere Funktion (K1) VZW an den Polstellen hat. In der Lösung wird das Schaubild mit den Polstellen mit VZW als Schaubild von f(x) angegeben, also K1 wird f(x) zugeordnet.
Nun bin ich total verwirrt, da für mich dementsprechend beide Schaubilder nicht infrage kommen.
Habe ich da etwas falsch verstanden mit dem VZW? Durch die Begründungen im Buch kann ich problemlos nachvollziehen, weshalb K1 zu f(x) gehört. Aber wegen dem VZW nicht...
Wenn ein Schaubild gegeben ist und eine senkrechte Asymptote besitzt, z.B. bei x=1. Dann ist das eine Polstelle mit VZW, wenn links der senkrechten Asymptote f(x) gegen plus Unendlich geht und rechts der Asymptote f(x) gegen minus Unendlich geht (oder eben umgekehrt).
Und das ist bei K1 eben nicht der Fall.
Oder gilt das nicht als Argument?
Wenn wir in Aufgaben Schaubilder gegeben haben und mögliche, passende Funktionsterme angeben müssen, dann ist das ja schon von großer Bedeutung, ob da nun ein VZW an der senkrechten Asymptote ist oder nicht - dementsprechend muss man ja drauf achten, welchen Grad der Nenner hat.
Nicht, dass hier einer denkt, ich zweifel an den Lösungen des Stark-Buches - im Gegenteil. Aber ich bin echt verwirrt und würde mich über Hilfe freuen...Danke schoneinmal ;)
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:07 Sa 31.03.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
>
> Die Aufgabe lautet wie folgt:
>
> Geg. ist die Funktion f durch f(x) = [mm]\bruch{(x² - 2x - 1)}{(x² -1)}[/mm]
>
> Im a) Teil soll man die Asymptoten angeben. Alles kein
> Problem.
>
> - waagrechte Asymptote ist y = 1 und senkrechte Asymptoten
> sind x= 1 und x = -1
>
> Die Stellen x = 1 und x = -1 sind ja folglich Polstellen
> und wegen der geraden Hochzahl Polstellen OHNE VZW, oder?
Hier stimmt das ODER.
wenn x von 0,9 auf 1,1 wechselt, wechselt der Zaehler das Vorzeichen nicht (er ist weit weg von 0 bei x-1 und -1
der Nenner wechselt das Vorzeichen! deshalb Pol mit Vorzeichenwechsel!
(wenn die Nullstellen des Nenners einfache Nst. sind, dann hat man Vorzeichenwechsel, wenn es doppelte Nst. sin keinen Vzw!
also Nenner [mm] (x-1)^2 [/mm] kein Vzw. doppelte Nst, Nenner aendert sein Vz nicht!
Nenner (x-1)*(x+1) ; 2 einfache Nst. Pol mit Vzw.
Gruss leduart
|
|
|
|
