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Forum "Operations Research" - Polyeder P = conv(V) + cone(W)
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Polyeder P = conv(V) + cone(W): Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 10:04 So 08.05.2011
Autor: Gratwanderer

Aufgabe
Seien P ein Polyeder und seien V, W [mm] \subseteq \IR^n. [/mm] Zeigen Sie: P = conv(V) + cone(W) genau dann, wenn x + P = conv(x+V) + cone(W) ist für alle x [mm] \in \IR^n [/mm]

Hallo,

zu obiger Aufgabe habe ich folgendes bereits gemacht:

[mm] \Leftarrow [/mm] :

ang. x + P = conv(x+V) + cone(W) für alle x [mm] \in \IR^n [/mm]

dann gilt dies insbesondere auch für x = 0

[mm] \Rightarrow [/mm] :

ang. P = conv(V) + cone(W)

addiert man auf beiden Seiten den Vektor x

[mm] \gdw [/mm] x + P = x + conv(V) + cone(W)

jetzt habe ich mir überlegt zu zeigen, dass

x + conv(V) = conv(x+V)

und habe so angefangen:

conv(V) = [mm] \{\summe_{i=1}^{n} \lambda_i v_i | v_i \in V, n \in \IN, \summe_{i=1}^{n} \lambda_i = 1; \lambda_i \ge 0 \} [/mm]

jetzt habe ich mir ein bel. Element aus conv(V) rausgenommen und es so aufgeschrieben:

x + conv(V) = x + [mm] \summe_{i=1}^{n} \lambda_i v_i [/mm]

aber jetzt komme ich leider nicht mehr weiter. Könnte mir jemand weiterhelfen?

Viele Grüße,
Gratwanderer

        
Bezug
Polyeder P = conv(V) + cone(W): Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:25 So 08.05.2011
Autor: wieschoo

Wenn du x zum Polyeder dazu addierst, dann gilt dies insbesondere auch für die Ecken.

Wenn [mm] $\lambda=(\lambda_1 [/mm] ... [mm] \lambda_n)=e_k$ [/mm] ein Einheitsvektor ist, dann erhälst du in deiner Summe nur die Eckpunkte vom Polyeder.

Damit kannst du das x auf die Ecken schieben (indem du es in die Summe hineinziehst) und hast das, was du brauchst.

Bezug
        
Bezug
Polyeder P = conv(V) + cone(W): Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:20 Di 10.05.2011
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
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