Polynom irreduzibel < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:30 Mo 09.01.2006 | | Autor: | Sanshine |
| Aufgabe | | Beh: [mm] f=t^8+1\in \IZ[/mm] [t] ist irreduzibel in [mm] \IQ [/mm] |
Hallo alle zusammen. Meine Frage ist ausnahmsweise: Wo ist der Haken?
Ich meine, eigentlich habe ich kein Problem damit:
Sei a [mm] \in \IQ [/mm] mit f(a)=0, dann gilt [mm] a^8+1=0, [/mm] also [mm] a^8=-1 [/mm] und [mm] a=\wurzel[8]{-1}\notin \IQ. [/mm] Widerspruch, nicht reduzibel!
Fertig.
Oder?
So einfach kann das doch nicht sein??? Ist das ein später Neujahrsscherz? Oder hab ich was übersehen?
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Hallo,
das geht leider nicht so einfach. Das Polynom ist irreduzibel. Zum Beweis siehe ![[]](/images/popup.gif) hier.
Das Polynom dort ist zwar [mm] x^{4}+1, [/mm] aber das ändert an der Sache nichts!
Viele Grüße
Daniel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:11 Di 10.01.2006 | | Autor: | Sanshine |
| Aufgabe | | Ist [mm] f=t^8 [/mm] irreduzibel in [mm] \IQ[/mm] [t] ? |
Vielen Dank für die schnelle Antwort. Klar, dass es nicht so einfach geht.
Allerdings ist das alles für [mm] x^8+1 [/mm] doch erheblich arbeitsaufwendiger (schon ab der Aufteilung in Polynome 2. und 6. Grades wesentlich komplizierter).
Meine Frage:
Gibt es keinen alternativen Lösungsweg? Sonst schreibt man sich ja wirklich die Hände wund...
Gruß, San
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Hallo,
tja mir würde noch das Eisensteinkriterium einfallen, aber das kann man hier nicht anwenden. Wenn dir das zu aufwendig ist, dann zeige, dass [mm] \wurzel[8]{-1} [/mm] einzige Nullstelle in [mm] \IC [/mm] ist. Dann kann man es nur so zerlegen und damit ist es irreduzibel!
Viele Grüße
Daniel
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