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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:02 So 06.11.2016 | | Autor: | MinLi |
| Aufgabe | Zu einem Polynom p [mm] \in [/mm] K[x] betrachten wir die Polynomabbildung
[mm] f_{p}: K^2 \to K^2
[/mm]
(u, v) [mm] \mapsto [/mm] (u, v+p(u)).
Zeigen Sie, dass [mm] f_{p} [/mm] ein Isomorphismus ist. |
Hallo liebe Matheraum- Community!
Ich habe Probleme mit der obigen Aufgabe.
Die Bijektivität könnte ich ganz gut beweisen, allerdings habe ich ein paar Probleme mit dem Homomorphismusbeweis.
Es soll ja gezeigt werden, dass für (a,b), (c,d) [mm] \in K^2 [/mm] gilt:
[mm] f_{p}((a,b)+(c,d)) [/mm] = [mm] f_{p}(a,b) [/mm] + [mm] f_{p}(c,d), [/mm] ebenso wie für die Verknüpfung "*".
Es gilt:
[mm] f_{p}((a,b)+(c,d))
[/mm]
[mm] =f_{p}(a+c,b+d)
[/mm]
=(a+c,b+d+p(a+c))
und hier habe ich das Problem, dass [mm] p(a+c)\not=p(a)+p(c) [/mm] ist. Das kann man ja schon am Beispiel von [mm] x^2 [/mm] erkennen.
Nun sehe ich aber leider nicht wie ich zeigen kann, dass das Obige gleich
(a,b+p(a))+(c,d+p(c))
[mm] =f_{p}(a,b)+f_{p}(c,d) [/mm]
ist.
Sitze ich auf dem Schlauch oder ist das nicht so leicht zu zeigen?
Vielleicht kann mir ja jemand einen kleinen Hinweis geben oder sagen wie icg besser an diesen Beweis rangehen kann.
Liebe Grüße, MinLi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:15 So 06.11.2016 | | Autor: | hippias |
Du bearbeitest eine Aufgabe aus dem Gebiet der algebraischen Geometrie, daher musst Du auch den dazu gehörigen Isomorphiebegriff gebrauchen. Wie also ist ein Isomorphisus von Varietäten definiert?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:59 Mo 07.11.2016 | | Autor: | MinLi |
Wir haben folgende Definition in der VL:
Eine Polynomabbildung f: V [mm] \to [/mm] W ist ein Isomorphismus, falls eine Polynomabbildung g: W [mm] \to [/mm] V existiert mit f [mm] \circ [/mm] g = [mm] id_W [/mm] und g [mm] \circ [/mm] f = [mm] id_V.
[/mm]
Reicht es dann einfach die Polynomabbildung
[mm] g_p [/mm] : [mm] K^2 \to K^2
[/mm]
(u,v) [mm] \mapsto [/mm] (u,v-p(u)) anzugeben und zu zeigen, dass die beiden Gleichungen oben erfüllt sind und dass es sich um eine Polynomabbildung handelt?
LG, MinLi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:33 Di 08.11.2016 | | Autor: | hippias |
Selbstverständlich!
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 09:13 Di 08.11.2016 | | Autor: | MinLi |
Ist es nicht klar, dass es sich bei dieser Abbildung um eine Polynomabbildung handelt?
LG, MinLi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:20 Sa 12.11.2016 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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