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| Aufgabe | Geben Sie die Linearfaktorzerlegung an:
$ [mm] x^{3}+5x^{2}-26x-120 [/mm] $ $ [mm] x_{1}=5 [/mm] $ |
Ich hab leider überhaupt keinen schimmer von polinomdivisionen. ich weiß nur, dass ich als teiler den linearfaktor verwenden muss (x-5).
also erhält man die aufgabe :
$ [mm] x^{3}+5x^{2}-26x-120 [/mm] $ : (x-5)
das prinzip ist doch wie bei einer normalen schriftlichen division oder? kann mir das bitte jemand erklären?
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Hi Isabell,
> ich weiß nur, dass ich als teiler den linearfaktor verwenden muss (x-5).
Das ist doch schon prima, du hast also die erste Nullstelle der Funktion bereits gegeben. Sie ist bei [mm] x_{1} [/mm] = 5 ! Nun drehst du das Vorzeichen um (von +5 auf -5), und erhälst deinen Linearfaktor (x-5) mit dem du die Polynomdivision beginnst. Das kann dann so aussehen:
[mm] (x^{3} [/mm] + [mm] 5x^{2} [/mm] - 26x - 120) : (x-5) = [mm] x^{2} [/mm] + 10x + 24
[mm] -(x^{3} [/mm] - [mm] 5x^{2})
[/mm]
------------------
[mm] 10x^{2} [/mm] - 26x
[mm] -(10x^{2} [/mm] - 50x)
------------------
24x - 120
-(24x - 120)
--------------
0
Hier ein paar Erläuterungen, zum leichteren Verständnis:
Du hast völlig Recht,es ist eigentlich so wie die schriftliche Division, nur das hier ein Polynom dividiert wird (wie der Name schon sagt)! Also, wenn du deine Funktion hast, und deinen ersten Linearfaktor, dann kann es losgehen. Du teilst nun zu Beginn [mm] x^{3} [/mm] : x und bekommst [mm] x^{2}. [/mm] Das schreibst du nun hinter das Gleichzeichen hinter dem Linearfaktor auf. Nun multiplizierst du das [mm] x^{2} [/mm] mit dem zweiten Teil (der -5). Das wäre dann [mm] -5x^{2}. [/mm] Diese beiden Werte schreibst du immer schön geordnet (nach Potenzen) unter die erste Zeile. Diese beiden Werte nimmst du in die Klammer, und subtrahierst sie durch die obere Zeile. Dadurch änder sich die Vorzeichn in der Klammer. Wenn du nun dir das oben ansiehst, dann war es das schon fats. Das machst du nun wieder von vorn, bist du irgendwann einen Rest von Null hast! Allerdings gibt es auch Polynomdivisionen mit Rest, aber die lassen wir mal außen vor. Erkennst du nun die Systematik?
Liebe Grüße
Analytiker
![[lehrer]](/images/smileys/lehrer.gif "[lehrer]")
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danke sehr
ich glaube, so in etwa habe ich es verstanden:)
und wenn ich richtig weitergerechnet habe, müsste die linearfaktorzerlegung am ende folgendermaßen aussehen:
$ [mm] x^{3}+5x^{2}-26x-120 [/mm] $ =(x-5)*(x+4)*(x+6)
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Hiho,
das stimmt 
MfG,
Gono.
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