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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:05 Di 03.05.2011 | | Autor: | SolRakt |
| Aufgabe | Sei m [mm] \in \IN. [/mm] Betrachten wir die Menge V aller reellen Polynomfunktionen vom Grad [mm] \le [/mm] m,
das heißt,
V = { f : R [mm] \to [/mm] R | [mm] \exists c_{0},...,c_{m} \in \IR \forall [/mm] x [mm] \in \IR [/mm] : f (x) =
[mm] \summe_{i=1}^{m}(c_{i}x^{i})}
[/mm]
Die Funktion [mm] \IR \to \IR, [/mm] x [mm] \mapsto x^{k} [/mm] bezeichnen wir wieder mit [mm] x^{k}.
[/mm]
1. Zeigen Sie, dass V ein R-Unterraum von [mm] \IR^{\IR} [/mm] ist.
2. Beweisen oder widerlegen Sie: Die folgenden Elemente bilden eine Basis von V.
(a) [mm] 1,x,x^{2},..;x_{m},.
[/mm]
(b) [mm] 1;x^{2}-x;x^{4}-x^{3},...,x^{m}-x^{m-1} [/mm] für m gerade,
(c) a;x-a; [mm] (x-a)^{2}; [/mm] ... ; [mm] (x-a)^{m} [/mm] für a [mm] \in \IR,
[/mm]
(d) 1;x; x(x+1); ... ; x(x+1) [mm] \* [/mm] ... [mm] \* [/mm] (x+m-1). |
Hallo.
Bei Teil 2 hab ich irgendwie Schwierigkeiten. Mein Tutor hat gesagt, dass Teil c) und d) wohl schwieriger seien und man bei c die binomische Formel braucht.
Kann mir das denn jemand erklären. Wie zeigt man sowas?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:13 Di 03.05.2011 | | Autor: | wieschoo |
meinst du das?
| Aufgabe | Sei m [mm] \in \IN. [/mm] Betrachten wir die Menge V aller reellen Polynomfunktionen vom Grad [mm] \le [/mm] m,das heißt,
[mm]V = \{ f : R \to R | \exists c_{0},...,c_{m} \in \IR \forall x \in \IR : f (x) = \summe_{i=1}^{m}(c_{i}x^{i})\} [/mm]
Die Funktion [mm] \IR \to \IR, x \mapsto x^{k} [/mm] bezeichnen wir wieder mit [mm] x^{k}. [/mm]
1. Zeigen Sie, dass V ein R-Unterraum von [mm] \IR^{\IR} [/mm] ist.
2. Beweisen oder widerlegen Sie: Die folgenden Elemente bilden eine Basis von V.
(a) [mm] 1,x,x^{2},..;x^{m},. [/mm]
(b) [mm] 1;x^{2}-x;x^{4}-x^{3},...,x^{m}-x^{m-1} [/mm] für m gerade,
(c) [mm]a;x-a; (x-a)^{2}; ... ; (x-a)^{m} [/mm] für a [mm] \in \IR, [/mm]
(d) [mm]\; 1;x; x(x+1); ... ; x(x+1) * ... * (x+m-1)[/mm]. |
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 06:20 Mi 04.05.2011 | | Autor: | SolRakt |
Ja xD
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:03 Mi 04.05.2011 | | Autor: | fred97 |
m+1 Funktionen [mm] f_0, f_1, [/mm] ..., [mm] f_m \in [/mm] V bilden eine Basis von V, wenn aus [mm] a_0, [/mm] ..., [mm] a_m \in \IR [/mm] und
[mm] a_0f_0(x)+a_1f_1(x)+...+a_mf_m(x) [/mm] für alle x [mm] \in \IR [/mm]
stets folgt, dass [mm] a_0= ...=a_m=0 [/mm] ist.
FRED
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