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Polynome: Dimension und Lin.TR: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:38 Do 27.01.2005
Autor: Buchanan

Könntet ihr mir folgende Fragen beantworten, da ich echt nicht mehr weiter weiss bzw. keine Vorstellungsgabe besitze(anscheinend)

welche der folgenden Mengen sind affine Unterräume des reellen Vektorraumes V=IR[X] der polynome mit reellen Koeffizienten? Welche der Mengen sind sogar lineare Teilräume?

{f [mm] \in [/mm] V; f(0) +f(1) + f (2) = 3}
{f [mm] \in [/mm] V; f(0)=1,f(1)=0}
{f [mm] \in [/mm] V; f(0)=0,f'(0)=1}
{f [mm] \in [/mm] V;  [mm] \integral_{0}^{1} [/mm] {f(x) dx}=f'(1) - f'(0}
{f [mm] \in [/mm] V; f(0)  *  [mm] \integral_{0}^{1} [/mm] {f(x) dx} = 1}

exemplarisch das system erklären wäre wichtiger als die explizite Lösung.
Auch so eine verdammte Frage ist weiderum: Bilden die Polynome [mm] (X+1)^n [/mm] für n /ge 0 eine Basis von R[X]?

Ich wäre euch zu großem Dank verpflichtet

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.


        
Bezug
Polynome: Dimension und Lin.TR: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:12 Di 01.02.2005
Autor: SirJective

Hallo!

> welche der folgenden Mengen sind affine Unterräume des
> reellen Vektorraumes V=IR[X] der polynome mit reellen
> Koeffizienten? Welche der Mengen sind sogar lineare
> Teilräume?

Du kennst sicherlich die Definitionen der Begriffe. Im Prinzip musst du diese nur ueberpruefen. Gehen wir das mal am Beispiel der ersten Menge durch:

[mm]U = \{f \in V; f(0) +f(1) + f (2) = 3\}[/mm]

Schauen wir mal, ob es sich um einen Untervektorraum handelt (also einen linearen Teilraum): Ein solcher muss den Nullvektor enthalten.

Was ist der Nullvektor von V? Das ist das Nullpolynom, n(x) = 0. Erfuellt nun n die gestellte Bedingung n(0) + n(1) + n(2) = 3? Nein. Also ist U kein linearer Teilraum.

Bleibt die Frage, ob es sich um einen affinen Teilraum handelt. Dazu muesstest du mir kurz erklaeren, was das ist (hab keine Lust, nachzuschauen).

>  Auch so eine verdammte Frage ist weiderum: Bilden die
> Polynome [mm](X+1)^n[/mm] für n /ge 0 eine Basis von R[X]?

Du hast also die Polynome
X+1, [mm] (X+1)^2, (X+1)^3, [/mm] ...

Die bilden keine Basis des R-Vektorraums R[X], weil sich z.B. der Vektor 1 nicht darstellen laesst. Um das zu zeigen, beweist du, dass jedes Polynom, dass sich als Linearkombination der gegebenen Polynome darstellen laesst, durch (X+1) teilbar ist.

Fuegst du [mm] (X+1)^0 [/mm] = 1 hinzu, erhaeltst du eine Basis.
Gruss,
SirJective


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