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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:02 Mo 07.05.2012 | | Autor: | teo |
| Aufgabe | Sei P:= [mm] X^{4}+X+2 \in \IF_{3}[X] [/mm] und K = [mm] \IF_{3}/(P). [/mm] Weiter sei a das Bild von X in K.
a) Zeigen Sie, dass K ein Körper mit 81 Elementen ist.
b)Bestimmen Sie explizit alle Teilkörper von K. Hierbei heiße "explizit": die Angabe einer [mm] \IF_{3}-Basis, [/mm] wobei die Basiselemente Polynome in a vom Grad [mm] \le [/mm] 3 sind. [Hinweis: Betrachten Sie [mm] a^{10} \in [/mm] K]. |
Hallo,
zu a) ist eigentlich klar:
K ist als Polynomring in einer Unbestimmten und über einem Körper ein Hauptidealbereich. Man zeigt, dass p irreduzibel ist, dann ist das von p erzeugte Ideal ein maximales, also ist K ein Körper.
Jedes Element h(X) + (P) von K hat einen Repräsentanten r(X)+(P) mit deg(r) < 4. (Zeigt man mit Division von h(X) mit Rest durch P(X)). Und es gibt über [mm] \IF_{3} [/mm] genau [mm] 3^{4} [/mm] Polynome vom Grad < 4. Also gibt es [mm] 3^{4} [/mm] solche Repräsentanten, die alle Elemente von K sind, also hat K genau 81 Elemente.
b) So und hier häng ich jetzt: Im Prinzip schauen doch die Teilkörper so aus:
[mm] T_{1} [/mm] = [mm] \IF_{3} [/mm] hat 3 Elemente
[mm] T_{2} [/mm] = [mm] \IF_{3}/(X^2+X+2) (X^{2}+X+2 [/mm] ist irreduzibel in [mm] \IF_{3}) [/mm] hat 9 Elemente
[mm] T_{3} [/mm] = [mm] \IF_{3}/(X^{3}+2X+1) (X^{3}+2X+1 [/mm] ist irreduzibel in [mm] \IF_{3}) [/mm] hat 27 Elemente
[mm] T_{4} [/mm] = K
So wie soll ich jetzt diese Teilkörper durch Angabe der [mm] \IF_{3} [/mm] - Basis angeben und wie hilft mir der Hinweis?
Vielen Dank
Grüße
teo
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:16 Mi 09.05.2012 | | Autor: | teo |
> Sei P:= [mm]X^{4}+X+2 \in \IF_{3}[X][/mm] und K = [mm]\IF_{3}/(P).[/mm]
> Weiter sei a das Bild von X in K.
>
> a) Zeigen Sie, dass K ein Körper mit 81 Elementen ist.
>
> b)Bestimmen Sie explizit alle Teilkörper von K. Hierbei
> heiße "explizit": die Angabe einer [mm]\IF_{3}-Basis,[/mm] wobei
> die Basiselemente Polynome in a vom Grad [mm]\le[/mm] 3 sind.
> [Hinweis: Betrachten Sie [mm]a^{10} \in[/mm] K].
>
> Hallo,
>
> zu a) ist eigentlich klar:
>
> K ist als Polynomring in einer Unbestimmten und über einem
> Körper ein Hauptidealbereich. Man zeigt, dass p
> irreduzibel ist, dann ist das von p erzeugte Ideal ein
> maximales, also ist K ein Körper.
> Jedes Element h(X) + (P) von K hat einen Repräsentanten
> r(X)+(P) mit deg(r) < 4. (Zeigt man mit Division von h(X)
> mit Rest durch P(X)). Und es gibt über [mm]\IF_{3}[/mm] genau [mm]3^{4}[/mm]
> Polynome vom Grad < 4. Also gibt es [mm]3^{4}[/mm] solche
> Repräsentanten, die alle Elemente von K sind, also hat K
> genau 81 Elemente.
>
> b) So und hier häng ich jetzt: Im Prinzip schauen doch die
> Teilkörper so aus:
> [mm]T_{1}[/mm] = [mm]\IF_{3}[/mm] hat 3 Elemente
> [mm]T_{2}[/mm] = [mm]\IF_{3}/(X^2+X+2) (X^{2}+X+2[/mm] ist irreduzibel in
> [mm]\IF_{3})[/mm] hat 9 Elemente
> [mm]T_{3}[/mm] = [mm]\IF_{3}/(X^{3}+2X+1) (X^{3}+2X+1[/mm] ist irreduzibel
> in [mm]\IF_{3})[/mm] hat 27 Elemente
> [mm]T_{4}[/mm] = K
>
> So wie soll ich jetzt diese Teilkörper durch Angabe der
> [mm]\IF_{3}[/mm] - Basis angeben und wie hilft mir der Hinweis?
>
> Vielen Dank
>
> Grüße
>
> teo
Hat da nicht zufällig jemand eine Idee?
Danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:44 Mo 21.05.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Sei P:= [mm]X^{4}+X+2 \in \IF_{3}[X][/mm] und K = [mm]\IF_{3}/(P).[/mm]
Bist du dir sicher, dass es nicht $K = [mm] \IF_3[X]/(P)$ [/mm] heissen soll?
> Weiter sei a das Bild von X in K.
>
> a) Zeigen Sie, dass K ein Körper mit 81 Elementen ist.
>
> b)Bestimmen Sie explizit alle Teilkörper von K. Hierbei
> heiße "explizit": die Angabe einer [mm]\IF_{3}-Basis,[/mm] wobei
> die Basiselemente Polynome in a vom Grad [mm]\le[/mm] 3 sind.
> [Hinweis: Betrachten Sie [mm]a^{10} \in[/mm] K].
>
> Hallo,
>
> zu a) ist eigentlich klar:
>
> K ist als Polynomring in einer Unbestimmten und über einem
$K$ ist kein Polynomring! Du meinst wohl [mm] $\IF_3[X]$.
[/mm]
> Körper ein Hauptidealbereich. Man zeigt, dass p
> irreduzibel ist, dann ist das von p erzeugte Ideal ein
> maximales, also ist K ein Körper.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Jedes Element h(X) + (P) von K hat einen Repräsentanten
> r(X)+(P) mit deg(r) < 4. (Zeigt man mit Division von h(X)
> mit Rest durch P(X)). Und es gibt über [mm]\IF_{3}[/mm] genau [mm]3^{4}[/mm]
> Polynome vom Grad < 4. Also gibt es [mm]3^{4}[/mm] solche
> Repräsentanten, die alle Elemente von K sind, also hat K
> genau 81 Elemente.
>
> b) So und hier häng ich jetzt: Im Prinzip schauen doch die
> Teilkörper so aus:
> [mm]T_{1}[/mm] = [mm]\IF_{3}[/mm] hat 3 Elemente
> [mm]T_{2}[/mm] = [mm]\IF_{3}/(X^2+X+2) (X^{2}+X+2[/mm] ist irreduzibel in
> [mm]\IF_{3})[/mm] hat 9 Elemente
> [mm]T_{3}[/mm] = [mm]\IF_{3}/(X^{3}+2X+1) (X^{3}+2X+1[/mm] ist irreduzibel
> in [mm]\IF_{3})[/mm] hat 27 Elemente
> [mm]T_{4}[/mm] = K
Bis auf [mm] $T_4$ [/mm] (und evtl. [mm] $T_1$, [/mm] je nach Identifikation) sind das keine Teilmengen von $K$, und somit insbesondere auch keine Teilkoerper.
> So wie soll ich jetzt diese Teilkörper durch Angabe der
> [mm]\IF_{3}[/mm] - Basis angeben und wie hilft mir der Hinweis?
Jeder Teilkoerper ist ein [mm] $\IF_3$-Untervektorraum [/mm] von $K$ und hat somit eine [mm] $\IF_3$-Basis. [/mm] Eine solche sollst du angeben. Dazu musst du aber erstmal den Teilkoerper bestimmen.
LG Felix
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