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Positive Definitheit: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:42 So 10.07.2005
Autor: jennyf

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt

Habe eine wichtige Frage und zwar weiß ich nicht, wie ich die folgende Behauptung beweisen kann. Wäre um eine schnelle Antwort sehr dankbar.
Die Aufgabe: Es sei A= [mm] (\alpha [/mm] kl) [mm] \in [/mm] M(n,n) eine positiv definite symmetrische MAtrix. Zeigen sie: [mm] \alpha [/mm] kk  >0 für k= 1,....,n

Danke schon mal im vorraus
        
Bezug
Positive Definitheit: Antowrt/Hinweis
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:15 So 10.07.2005
Autor: Jazzy

Hi Jenny,

na, was heißt denn pos definit? Guck Dir mal die Definition an.

für alle x ungleich Null muss <x,Ax> (Skalarprodukt) größer Null sein.
Und schaffst Du es, einen Vektor zu finden, für den dort das Diagonalelement von A rauskommt?

Gruß,
Jazzy
Bezug
                
Bezug
Positive Definitheit: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:48 Mo 11.07.2005
Autor: jennyf

Ich kann ja <x,Ax> auch schreiben (da A [mm] \in [/mm] M(n,n) und somit endlich) als [mm] <\summe_{i=1}^{n} \alphai [/mm] bi, [mm] \lambda \summe_{i=1}^{n} \alphai [/mm] bi> dabei ist x /in Orthogonalbasis (d.h.: Eigenvektor zu einem  [mm] \lambda) [/mm]
Das obere Skalar kann ich soweit umformen, dass ich letztlich nur noch  [mm] \lambda \alphai² [/mm] stehen und es muss gelten >0 wie komme ich jetzt weiter??? Weiß nicht wie ich daraus schließen kann, dass [mm] \alphakk>0 [/mm]
Bezug
                        
Bezug
Positive Definitheit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:05 Mo 11.07.2005
Autor: Jazzy

Hi Jenny,

Du brauchst keinen Umweg über Eigenvektoren zu gehen.

Du hast doch eine nxn Matrix mit Einträgen in R, oder?
Nimm doch einfach den j-ten Einheitsvektor, j-te Stelle 1 sonst überall Null und setze diesen für x ein. Das Ergebnis muss größer Null sein, da die Matrix pos.def.

Jetzt klar?

Jazzy
Bezug
                                
Bezug
Positive Definitheit: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 08:02 Di 12.07.2005
Autor: jennyf

Ich denke schon, dass ich's jetzt kapiert habe. Danke für die Hilfe
Bezug
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