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Pot. dargestellt durch Matrix: Beweis
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:06 Di 23.11.2010
Autor: silentsword06

Aufgabe
Für A=
[mm] \begin{pmatrix} x & 1 & 0 \\ 0 & x & 1 \\ 0 & 0 & x \end{pmatrix} [/mm]

mit [mm] x\ne0 [/mm] und alle natürlichen Zahlen n zeige man:

[mm] A^{n}= \begin{pmatrix} x^{n} & nx^{n-1} & \left( \bruch{n(n-1)}{2} \right)x^{n-2} \\ 0 & x^{n} & nx^{n-1} \\ 0 & 0 & x^{n} \end{pmatrix} [/mm]

Hinweis: [mm] A^{n} [/mm] := A * A * ..... *A - (n-mal), [mm] A^{0}:= [/mm] E;

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Hallo zusammen,

ich habe einfach die Determinaten mit Hilfe der Sarrus-Regel angewandt und bin auf [mm]A=x^{3}[/mm] und [mm]A^{n}=x^{3n}[/mm] und da [mm] (x^{3})^{n} [/mm] = [mm] x^{3n} [/mm] ist, hätte ich ja praktisch den Beweis.

Ich habe allerdings keine Ahnung, ob das Ganze richtig ist.

        
Bezug
Pot. dargestellt durch Matrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:34 Di 23.11.2010
Autor: MathePower

Hallo silentsword06,

> Für A=
>  [mm]\begin{pmatrix} x & 1 & 0 \\ 0 & x & 1 \\ 0 & 0 & x \end{pmatrix}[/mm]
>  
> mit [mm]x\ne0[/mm] und alle natürlichen Zahlen n zeige man:
>  
> [mm]A^{n}= \begin{pmatrix} x^{n} & nx^{n-1} & \left( \bruch{n(n-1)}{2} \right)x^{n-2} \\ 0 & x^{n} & nx^{n-1} \\ 0 & 0 & x^{n} \end{pmatrix}[/mm]
>  
> Hinweis: [mm]A^{n}[/mm] := A * A * ..... *A - (n-mal), [mm]A^{0}:=[/mm] E;
>  Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>  
> Hallo zusammen,
>  
> ich habe einfach die Determinaten mit Hilfe der
> Sarrus-Regel angewandt und bin auf [mm]A=x^{3}[/mm] und [mm]A^{n}=x^{3n}[/mm]
> und da [mm](x^{3})^{n}[/mm] = [mm]x^{3n}[/mm] ist, hätte ich ja praktisch
> den Beweis.
>  
> Ich habe allerdings keine Ahnung, ob das Ganze richtig ist.


Dann beweise es mit Hilfe der vollständigen Induktion.


Gruss
MathePower

Bezug
                
Bezug
Pot. dargestellt durch Matrix: Ansatz
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:36 Di 23.11.2010
Autor: silentsword06

Also, ist mein Ansatz nicht brauchbar ?

Bezug
        
Bezug
Pot. dargestellt durch Matrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:39 Di 23.11.2010
Autor: fred97


> Für A=
>  [mm]\begin{pmatrix} x & 1 & 0 \\ 0 & x & 1 \\ 0 & 0 & x \end{pmatrix}[/mm]
>  
> mit [mm]x\ne0[/mm] und alle natürlichen Zahlen n zeige man:
>  
> [mm]A^{n}= \begin{pmatrix} x^{n} & nx^{n-1} & \left( \bruch{n(n-1)}{2} \right)x^{n-2} \\ 0 & x^{n} & nx^{n-1} \\ 0 & 0 & x^{n} \end{pmatrix}[/mm]
>  
> Hinweis: [mm]A^{n}[/mm] := A * A * ..... *A - (n-mal), [mm]A^{0}:=[/mm] E;
>  Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>  
> Hallo zusammen,
>  
> ich habe einfach die Determinaten mit Hilfe der
> Sarrus-Regel angewandt und bin auf [mm]A=x^{3}[/mm] und [mm]A^{n}=x^{3n}[/mm]
> und da [mm](x^{3})^{n}[/mm] = [mm]x^{3n}[/mm] ist, hätte ich ja praktisch
> den Beweis.
>  
> Ich habe allerdings keine Ahnung, ob das Ganze richtig ist.


Das ist doch kompletter  Unfug. Du sollst nichts mit Determinanten machen !

Gegeben hast Du obige Matrix A

Zeigen sollst Du, dass die Potenzen [mm] A^n [/mm] die oben angegebene Gestalt haben. Das kannst Du induktiv erledigen !

FRED


Bezug
                
Bezug
Pot. dargestellt durch Matrix: Danke
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:42 Di 23.11.2010
Autor: silentsword06

Habe die Aufgabenstellung falsch verstanden.

Danke euch Beiden.

Bezug
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