Potenzreihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:00 Fr 21.07.2006 | | Autor: | chmanie |
| Aufgabe | Man bestimme alle x [mm] \in \IR, [/mm] für welche die Potenzreihe [mm] \summe_{n=2}^{\infty} [/mm] mit
[mm] a_{n} =\begin{cases} \wurzel[n]{(n-1)!}, & \mbox{für } n \mbox{ gerade} \\ 3^{n}*(1-cos(\bruch{1}{2^{n}})), & \mbox{für } n \mbox{ ungerade} \end{cases}
[/mm]
konvergiert. [mm] (a_{0}=0) [/mm] |
Hi, ich hab schon wieder Probleme mit einer Potenzreihe. Das sollte mit dem Wurzelkriterium II also mit dem Häufungspunktkriterium gehen. Bei einem geraden n habe ich mir überlegt, wenn ich 2 mal die n-te Wurzel ziehe müsste der 1. Häufungspunkt eigentlich 1 sein. Nur genau weiß ich das nicht und beweisen könnte ich das erst recht nicht. Und bei n ungerade hab ich überhaupt keinen Ansatz.
Vielleicht könnt ihr mir helfen!
Danke,
Christian
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:00 Do 27.07.2006 | | Autor: | tausi |
Hallo Christian!
Du musst den Konvergenzradius der Potenzreihe bestimmen. Der ist ja:
(limsup [mm] \wurzel{a_{n}^n})^{-1}
[/mm]
[mm] n->\infty
[/mm]
oder
(limsup [mm] \bruch{a_{n+1}}{a_{n}})^{-1}
[/mm]
[mm] n->\infty
[/mm]
Du musst also die Häufungspunkte der Folge [mm] a_{n} [/mm] ausrechnen. Dann nimmst du den größten und hast den limsup.
Du hast dann den Konvergenzradius und musst nur noch die Konvergenz der Reihe an den Rändern überprüfen. Da teilst du einach die Reihe in eine mit den geraden und eine mit den ungeraden Koeffizienten [mm] a_{n} [/mm] auf.
Ich hoffe, dir geholfen zu haben,
Tausi
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