Potenzreihe Entwicklungssatz < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:08 So 15.04.2012 | | Autor: | Lonpos |
| Aufgabe | Sei [mm] f(z)=\summe_{k=-n}^{\infty}a_k*z^k, n\ge{0} [/mm] konvergiert für |z|<R
=> [mm] \integral_{|z|=r}^{}{f(z) dz}=(2*\pi*i)*a_{-1} [/mm] |
Nach dem Cauchy Entwicklungssatz gilt ja für die Koeffizienten der Potenzreihe [mm] a_n=\bruch{1}{2\pi*i}\integral_{|z-z_0|=r}^{}{\bruch{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}} dz}
[/mm]
Mit welchem Argument kann ich diesen Folgepfeil nun begründen? Einfach für n=-1 einsetzen?
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Hallo,
> Sei [mm]f(z)=\summe_{k=-n}^{\infty}a_k*z^k, n\ge{0}[/mm] konvergiert
> für |z|<r
>
> => [mm]\integral_{|z|=r}^{}{f(z) dz}=(2*\pi*i)*a_{-1}[/mm]
> Nach dem
> Cauchy Entwicklungssatz gilt ja für die Koeffizienten der
> Potenzreihe
> [mm]a_n=\bruch{1}{2\pi*i}\integral_{|z-z_0|=r}^{}{\bruch{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}} dz}[/mm]
>
> Mit welchem Argument kann ich diesen Folgepfeil nun
> begründen? Einfach für n=-1 einsetzen?
Wenn du den Satz anwenden darfst, warum nicht?
Du solltest evtl. noch kurz begründen, warum f holomorph ist auf einer Kreisschreibe (d.h. die Voraussetzungen des Satzes nachrechen), aber ansonsten finde ich keinen Einwand.
Grüße,
Stefan</r
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:26 So 15.04.2012 | | Autor: | Lonpos |
Also von der Argumentation wäre es dasselbe wenn ich jetzt
[mm] f(z)=\summe_{k=-n}^{\infty}a_k\cdot{}z^k [/mm] oder
[mm] f(z)=\summe_{k=-n}^{m}a_k\cdot{}z^k [/mm] anschaue.
Dadruch, dass ja beide Fkt. analytisch sind, sind sie auch holomorph (haben wir bereits gezeigt), also kann ich den Darstellungssatz anwenden, indem ich einfach für n=-1 einsetze?
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Hallo,
> Also von der Argumentation wäre es dasselbe wenn ich jetzt
>
> [mm]f(z)=\summe_{k=-n}^{\infty}a_k\cdot{}z^k[/mm] oder
>
> [mm]f(z)=\summe_{k=-n}^{m}a_k\cdot{}z^k[/mm] anschaue.
>
> Dadruch, dass ja beide Fkt. analytisch sind, sind sie auch
> holomorph (haben wir bereits gezeigt), also kann ich den
> Darstellungssatz anwenden, indem ich einfach für n=-1
> einsetze?
Ja.
Grüße,
Stefan
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:46 Mo 16.04.2012 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm]f(z)=\summe_{k=-n}^{\infty}a_k*z^k, n\ge{0}[/mm] konvergiert
> für |z|<R
>
> => [mm]\integral_{|z|=r}^{}{f(z) dz}=(2*\pi*i)*a_{-1}[/mm]
Ich vermute, es ist 0<r<R.
Wenn ja, so konvergiert obige Reihe für auf [mm] \{z \in \IC:|z|=r\} [/mm] gleichmäßig. Du kannst also Summation und Integration vertauschen
Kür k [mm] \ne [/mm] -1 hat das Integral über [mm] a_kz^k [/mm] den Wert 0 , denn [mm] z^k [/mm] hat auf [mm] \IC [/mm] \ {0} eine Stammfunktion.
Bleibt also nur das Integral über [mm] \bruch{a_{-1}}{z}.
[/mm]
Aber das kennt man (hoffentlich)
FRED
> Nach dem
> Cauchy Entwicklungssatz gilt ja für die Koeffizienten der
> Potenzreihe
> [mm]a_n=\bruch{1}{2\pi*i}\integral_{|z-z_0|=r}^{}{\bruch{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}} dz}[/mm]
>
> Mit welchem Argument kann ich diesen Folgepfeil nun
> begründen? Einfach für n=-1 einsetzen?
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