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(Frage) überfällig  | | Datum: | 15:28 Do 13.12.2007 | | Autor: | U-Gen |
| Aufgabe | Untersuchen Sie das Konvergenzverhalten der folgenden Potenzreihen.
a) [mm] \sum_{k=1}^\infty ~\frac{2^{k}}{k^{2}} x^{k} [/mm]
b) [mm] \sum_{k=2}^\infty ~2^{\begin{pmatrix} k \\ a \end{pmatrix} } x^{k}
[/mm]
c) [mm] \sum_{k=0}^\infty ~{\begin{pmatrix} 2k \\ k \end{pmatrix} } x^{3k}
[/mm]
d) [mm] \sum_{k=0}^\infty ~\frac{x^{k^{2}}}{2^{k}} [/mm] |
Bei der a) hab ich die Formel von Cauchy-Hadamard benutzt und somit rausgefunden, dass der Konvergenzradius bei [mm] \frac{1}{2} [/mm] liegt. Und das die Reihe konvergiert für positive als auch negative [mm] \frac{1}{2}.
[/mm]
Bei der b) bin ich mir nicht sicher, ob ich nicht diese Wurzel hier ziehen kann: [mm] \sqrt[\begin{pmatrix} k \\ a \end{pmatrix}]{2^{\begin{pmatrix} k \\ a \end{pmatrix} }}. [/mm] Somit wäre der Konvergenzradius wieder [mm] \frac{1}{2}.
[/mm]
Bei der c) komm ich nach Umformungen bis zu [mm] \frac{k!}{(k + 1)!} [/mm] und ab hier auch nicht mehr weiter. Weiss auch nicht ob ich hier richtig gerechnet hab.
Bei der d) komm ich überhaupt nicht weiter, weil ich nicht weiss wie ich die [mm] x^{k^{2}} [/mm] auseinander ziehen darf.
Freue mich um jede Hilfe !!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:43 Do 13.12.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo U-Gen!
> Bei der a) hab ich die Formel von Cauchy-Hadamard benutzt
> und somit rausgefunden, dass der Konvergenzradius bei [mm]\frac{1}{2}[/mm] liegt.
> Und das die Reihe konvergiert für positive als auch negative [mm]\frac{1}{2}.[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Richtig!
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:48 Do 13.12.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo U-Gen!
> Bei der c) komm ich nach Umformungen bis zu [mm]\frac{k!}{(k + 1)!}[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Das stimmt so nicht. Du musst ja rechnen:
[mm] $$\left|\bruch{a_k}{a_{k+1}}\right| [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\vektor{2k\\k}}{\vektor{2k+2\\k+1}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\bruch{(2k)!}{(k!)^2}}{\bruch{\blue{(2k+2)!}}{\green{[(k+1)!]^2}}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{(2k)!*\green{(k+1)^2*(k!)^2}}{(k!)^2*\blue{(2k)!*(2k+1)*(2k+2)}} [/mm] \ = \ ...$$
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:05 Do 13.12.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo U-Gen!
Es gilt gemäß  Potenzgesetz: [mm] $x^{k^2} [/mm] \ = \ [mm] x^{k*k} [/mm] \ = \ [mm] \left(x^k\right)^k$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:27 Do 13.12.2007 | | Autor: | U-Gen |
zu c)
Formel von Cauchy-Hadamard sagt ja,
r = [mm] \frac{1}{\lim_{n \to \infty } x \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right|} [/mm]
Dann sieht das bei der Aufgabe doch so aus:
[mm] \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| [/mm] = [mm] \frac{2 \cdot (k + 1)! \cdot k!}{2k! \cdot (k+1)!} [/mm] = 1
Somit ist der Radius 1.
Aber wenn 1 rauskommt kann ich ja nix über die Reihe sagen mit dem QK.
zu d)
Hier zieh ich dass dann auseinander !
hab dann [mm] \sum_{k=0}^\infty ~\frac{1}{2^{k}} [/mm]
hier kann ich ja das wurzelkriterium anwenden und hab dann raus, dass der radius [mm] \frac{1}{2} [/mm] ist.
wie rechne ich jetzt jedoch weiter ?! ich hab ja noch das [mm] x^{k^{2}} [/mm] da stehen bzw. bei [mm] x^{3k} [/mm] muss ich den Radius auf |x|³ überprüfen ...
wie siehts denn mit der b) aus ... kann ich das so machen ?!
vielen dank !!!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:50 Do 13.12.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Bei c) hatte dir doch Loddar schon das richtige Ergebnis hingeschrieben, deins ist falsch!
bei d) weiss ich nicht, was du "auseinanderziehen" nennst
$ [mm] \sum_{k=0}^\infty ~\frac{1}{2^{k}}*y^k [/mm] $
hat nicht Konvergenzradius 1/2 rechne das nach. wenn du r hast, gilt der für [mm] y=x^k [/mm] also ...
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:07 Sa 15.12.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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