Potenzreihenentwicklung x/sinx < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:12 Mo 22.02.2010 | | Autor: | Dito |
| Aufgabe | | Man entwickle in eine Potenzreihe um x0=0 und berechne die ersten drei nicht verschwindenden Glieder von f(x)=x/sin x |
Hallo zusammen,
nun steht die Matheklausur vor der Türe und ich habe noch ein bisschen Probleme mit der Entwicklung von Potenzreihen.
Mein Ansatz zu dieser Aufgabe war
[mm]\frac{x}{\sin x}=\sum_{n=0}^{\infty}c_n\cdot x^n \\
<=>\\
x=(c_0+c_1x+c_2x^2+c_3x^3+...)(x-\frac{1}{6}x^3+\frac{1}{120}x^5-+...)
[/mm]
Jetzt komme ich nicht weiter :(..
Das Ergebnis ist dann letztendlich
[mm]1+\frac{1}{6}x^2+\frac{7}{360}x^4+...[/mm]
Wenn ich zwei Potenzreihen habe, mache ich einen Koeffizientenvergleich...das funktioniert auch. Bei dieser Aufgabe weiß ich aber nicht, wie ich auf das Ergebnis kommen soll. Zumal ich mich frage, was mit dem - aus der Potenzreihe des Sinus geworden ist...
Ich hoffe ihr könnt mir erklären, wie ich auf das Ergebnis komme.
Vielen Dank im Voraus
Grüße...
achja: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Dennis,
> Man entwickle in eine Potenzreihe um x0=0 und berechne die
> ersten drei nicht verschwindenden Glieder von f(x)=x/sin x
> Hallo zusammen,
> nun steht die Matheklausur vor der Türe und ich habe noch
> ein bisschen Probleme mit der Entwicklung von
> Potenzreihen.
>
> Mein Ansatz zu dieser Aufgabe war
> [mm]\frac{x}{\sin x}=\sum_{n=0}^{\infty}c_n\cdot x^n \\
<=>\\
x=(c_0+c_1x+c_2x^2+c_3x^3+...)(x-\frac{1}{6}x^3+\frac{1}{120}x^5-+...)
[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Nimm noch den Summanden [mm] $c_4x^4$ [/mm] hinzu, damit du in der gesuchten Potenzreihe auch das [mm] $c_4$ [/mm] nachher hast...
>
> Jetzt komme ich nicht weiter :(..
>
> Das Ergebnis ist dann letztendlich
> [mm]1+\frac{1}{6}x^2+\frac{7}{360}x^4+...[/mm]
Hmm, ich hab's auf die Schnelle nachgerechnet und komme auch auf dieses Ergebnis ...
>
> Wenn ich zwei Potenzreihen habe, mache ich einen
> Koeffizientenvergleich...das funktioniert auch. Bei dieser
> Aufgabe weiß ich aber nicht, wie ich auf das Ergebnis
> kommen soll. Zumal ich mich frage, was mit dem - aus der
> Potenzreihe des Sinus geworden ist...
Das verrechnet sich doch nachher im Koeffizientenvergleich:
Ich habe (ohne Gewähr) nach dem Ausmultiplizieren und Umsortieren:
[mm] $x=c_0\cdot{}x+c_1\cdot{}x^2+\left(-\frac{1}{6}c_0+c_2\right)\cdot{}x^3+\left(-\frac{1}{6}c_1+c_3\right)\cdot{}x^4+\left(\frac{1}{120}c_0-\frac{1}{6}c_2+c_4\right)\cdot{}x^5+\mathfrac{O}\left(x^6\right)$
[/mm]
Also [mm] $c_0=1, c_1=0$ [/mm] und der Rest ergibt sich durch einfaches Einsetzen...
>
> Ich hoffe ihr könnt mir erklären, wie ich auf das
> Ergebnis komme.
Vllt. hast du dich bloß verrechnet, zeige doch mal, wie dein Koeffizientenvergleich aussieht ...
>
> Vielen Dank im Voraus
> Grüße...
>
> achja: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:01 Mo 22.02.2010 | | Autor: | Dito |
aaaahhh ja ich hatte einen ganz blöden Vorzeichenfehler drin, den ich nicht bemerkt habe, so dass [mm]c_4=-\frac{13}{360}[/mm]
Habe jetzt den richtigen Koeffizientenvergleich angestellt und bin endlich auch auf das Ergebnis gekommen =)
Vielen Dank
Gruß...
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