Prim. Einheitswrz. Minimalpoly < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:55 Fr 27.01.2012 | | Autor: | mapache |
| Aufgabe | Es sei [mm] \zeta [/mm] eine primitive n-te Einheitswurzel in [mm] \IC [/mm] (d.h. [mm] \zeta^n=1,\zeta^m\not=1 [/mm] für [mm] 1\le [/mm] m<n).
Finden sie das Minimalpolynom von [mm] \zeta [/mm] über [mm] \IQ [/mm] für
n=12,16,24 und 48. |
Als Tipp habe ich bekommen, dass man
[mm] \produkt_{d|n}\phi_d(x)=x^n-1
[/mm]
[mm] \phi_d(x) [/mm] ist das Minimalpolynom.
Mir ist das irgendwie nicht klar.
Für n=12 muss man doch die Minimalpolynome für d=1,5,7 und 11 bestimmen. Wie funktioniert das?
Ich habe in einem Buch gefunden:
[mm] \phi_1(x)=x-1
[/mm]
[mm] \phi_2(x)=x+1
[/mm]
[mm] \phi_3(x)=x^2+x+1
[/mm]
[mm] \phi_4(x)=x^2+1
[/mm]
[mm] \phi_5(x)=x^4+x^3+x^2+x+1
[/mm]
...
Wie berechne ich das?
Ist das Minimalpolynom das Produkt von [mm] \phi_1,\phi_5,\phi_7,\phi_{11}?
[/mm]
Danke für eure Hilfe.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:24 Fr 27.01.2012 | | Autor: | statler |
Mahlzeit!
> Es sei [mm]\zeta[/mm] eine primitive n-te Einheitswurzel in [mm]\IC[/mm]
> (d.h. [mm]\zeta^n=1,\zeta^m\not=1[/mm] für [mm]1\le[/mm] m<n).
> Finden sie das Minimalpolynom von [mm]\zeta[/mm] über [mm]\IQ[/mm] für
> n=12,16,24 und 48.
> Als Tipp habe ich bekommen, dass man
>
> [mm]\produkt_{d|n}\phi_d(x)=x^n-1[/mm]
>
> [mm]\phi_d(x)[/mm] ist das Minimalpolynom.
Von was? Von den primitiven d-ten Einheitswurzeln.
> Mir ist das irgendwie nicht klar.
> Für n=12 muss man doch die Minimalpolynome für d=1,5,7
> und 11 bestimmen. Wie funktioniert das?
Das bringst du durcheinander. [mm] \zeta, \zeta^5, \zeta^7 [/mm] und [mm] \zeta^{11}
[/mm]
haben dasselbe MP.
> Ich habe in einem Buch gefunden:
> [mm]\phi_1(x)=x-1[/mm]
> [mm]\phi_2(x)=x+1[/mm]
> [mm]\phi_3(x)=x^2+x+1[/mm]
> [mm]\phi_4(x)=x^2+1[/mm]
> [mm]\phi_5(x)=x^4+x^3+x^2+x+1[/mm]
> ...
> Wie berechne ich das?
Jetzt kannst du rekursiv [mm] \phi_6 [/mm] ausrechnen und dann auch [mm] \phi_{12}, [/mm] nimm für beides die obige Produktformel. Das ist Algebra, Polynomdivision.
> Ist das Minimalpolynom das Produkt von
> [mm]\phi_1,\phi_5,\phi_7,\phi_{11}?[/mm]
Nee, natürlich nicht. Die 7-ten Einheitswurzeln haben mit den 12-ten Einheitswurzeln wenig zu tun.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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