Primitive Einheitswurzeln < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | a) Es sei n [mm] \in \IN. [/mm] Zeigen Sie, dass die Menge M := [mm] \{z \in \IC | z^n = 1\} [/mm] bezueglich der Multiplikation
komplexer Zahlen eine Untergruppe von [mm] C\setminus\{0\} [/mm] ist.
b) Die Elemente von M heißen n-te Einheitswurzeln. Eine Einheitswurzel heißt primitiv, wenn fuer alle m [mm] \in \IN [/mm] mit m < n gilt: [mm] z^n \not= [/mm] 1. Für welche k [mm] \in \{0,1,...,n-1\} [/mm] ist [mm] \zeta_k [/mm] := [mm] cos\left(\bruch{2\pi k}{n}\right)+i sin\left(\bruch{2\pi k}{n}\right) [/mm] eine
primitive n-te Einheitswurzel? |
Hallo zusammen!
Teil a der obigen Aufgabe habe ich soweit durch. Bin mir nur nicht sicher ob folgendes reicht um zu zeigen das 1 [mm] \in [/mm] M ist (und M [mm] \not= \emptyset):
[/mm]
1=1*(cos(0)+i [mm] sin(0))=1^n*(cos(n*0)+i sin(n*0))=1^n
[/mm]
Mein eigentliches Problem ist allerdings die b.
Es ist klar, das alle [mm] \zeta_k [/mm] mit [mm] cos(2k\pi)+i sin(2k\pi)=1 [/mm] in M, und damit n-te Einheitswurzeln sind, aber wie soll ich denn feststellen, welche davon primitiv sind?
Hilfe ist greatly appreciated.
Gruß
Mathezwerg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:58 Sa 11.12.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> a) Es sei n [mm]\in \IN.[/mm] Zeigen Sie, dass die Menge M := [mm]\{z \in \IC | z^n = 1\}[/mm]
> bezueglich der Multiplikation
> komplexer Zahlen eine Untergruppe von [mm]C\setminus\{0\}[/mm]
> ist.
> b) Die Elemente von M heißen n-te Einheitswurzeln. Eine
> Einheitswurzel heißt primitiv, wenn fuer alle m [mm]\in \IN[/mm]
> mit m < n gilt: [mm]z^n \not=[/mm] 1. Für welche k [mm]\in \{0,1,...,n-1\}[/mm]
> ist [mm]\zeta_k[/mm] := [mm]cos\left(\bruch{2\pi k}{n}\right)+i sin\left(\bruch{2\pi k}{n}\right)[/mm]
> eine
> primitive n-te Einheitswurzel?
>
> Hallo zusammen!
> Teil a der obigen Aufgabe habe ich soweit durch. Bin mir
> nur nicht sicher ob folgendes reicht um zu zeigen das 1 [mm]\in[/mm]
> M ist (und M [mm]\not= \emptyset):[/mm]
> 1=1*(cos(0)+i
> [mm]sin(0))=1^n*(cos(n*0)+i sin(n*0))=1^n[/mm]
Das ist viel zu kompliziert. Es ist doch einfach [mm] $1^n [/mm] = 1$. Dazu brauchst du gar keine komplexen Zahlen!
> Mein eigentliches
> Problem ist allerdings die b.
> Es ist klar, das alle [mm]\zeta_k[/mm] mit [mm]cos(2k\pi)+i sin(2k\pi)=1[/mm]
Was soll das $=1$ zum Schluss?
> in M, und damit n-te Einheitswurzeln sind, aber wie soll
> ich denn feststellen, welche davon primitiv sind?
[mm] $\zeta_k$ [/mm] ist primitiv, wenn aus [mm] $\zeta_k^m [/mm] = 1$ folgt, dass $n$ ein Teiler von $m$ ist.
Also [mm] $\zeta_k^m [/mm] = [mm] \zeta_{k m}$, [/mm] wie du leicht nachrechnen kannst. Was muss $k m$ erfuellen, damit dies gleich 1 ist? Kannst du damit etwas ueber $k m$ aussagen?
LG Felix
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