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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:19 Mi 09.01.2013 | | Autor: | rollroll |
| Aufgabe | Hallo, habe mal wieder zwei Fragen:
1. Finde für G= [mm] Z_2 [/mm] x [mm] Z_8 [/mm] x [mm] Z_{16} [/mm] x [mm] Z_{48} [/mm] x [mm] Z_{144} [/mm] x [mm] Z_{1008} [/mm] eine Darstellung g= [mm] Z_{p{_1}^{r_1}} [/mm] x ...x [mm] Z_{p{_k}^{r_k}} [/mm] x [mm] Z^{n-r} [/mm] mit Primzahlen [mm] p_1 [/mm] , ... , [mm] p_k [/mm] & [mm] r_1, [/mm] ..., [mm] r_k [/mm] > 0
2. Zeige, dass die Einheitengruppe [mm] Z_4^{*} [/mm] zyklisch ist. |
Die beiden Fragen haben nichts miteinander zu tun, wollte aber nicht extra ein neues Thema auf machen.
Ich wundere mich über beide Aufgaben, da sie mir zu leicht erscheinen...
also zu 1.
G= [mm] Z_2 [/mm] x [mm] Z_{2^{3}} [/mm] x [mm] Z_{2^{4}} [/mm] x [mm] Z_{2^{4}} [/mm] x [mm] Z_3 [/mm] x [mm] Z_{3^{2}} [/mm] x [mm] Z_{2^{4}} [/mm] x [mm] Z_{2^{4}} [/mm] x [mm] Z_{3^{2}} [/mm] x [mm] Z_7. [/mm]
zu 2.
Einheitengruppe: {1,3} hat Primzahlordnung, also zyklisch.
Es ist zwar hier nicht gefragt: Aber wie wäre denn die Ordnung des Elementes 3 in dieser Einheitengruppe? Wäre doch 2, oder? Ich sachte nämlich bis jetzt, dass, wenn alle Elemente (außer 1) ordnung 2 haben, eine Gruppe nicht zyklisch ist, wie z.B. die Einheitengruppe von [mm] Z_8.... [/mm] Wäre toll, wenn mir das jemand erklären könnte.
Wäre über eure Hilfe sehr dankbar!
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moin,
> Hallo, habe mal wieder zwei Fragen:
> 1. Finde für G= [mm]Z_2[/mm] x [mm]Z_8[/mm] x [mm]Z_{16}[/mm] x [mm]Z_{48}[/mm] x [mm]Z_{144}[/mm] x
> [mm]Z_{1008}[/mm] eine Darstellung g= [mm]Z_{p{_1}^{r_1}}[/mm] x ...x
> [mm]Z_{p{_k}^{r_k}}[/mm] x [mm]Z^{n-r}[/mm] mit Primzahlen [mm]p_1[/mm] , ... , [mm]p_k[/mm] &
> [mm]r_1,[/mm] ..., [mm]r_k[/mm] > 0
> 2. Zeige, dass die Einheitengruppe [mm]Z_4^{*}[/mm] zyklisch ist.
>
> Die beiden Fragen haben nichts miteinander zu tun, wollte
> aber nicht extra ein neues Thema auf machen.
> Ich wundere mich über beide Aufgaben, da sie mir zu
> leicht erscheinen...
>
> also zu 1.
>
> G= [mm]Z_2[/mm] x [mm]Z_{2^{3}}[/mm] x [mm]Z_{2^{4}}[/mm] x [mm]Z_{2^{4}}[/mm] x [mm]Z_3[/mm] x
> [mm]Z_{3^{2}}[/mm] x [mm]Z_{2^{4}}[/mm] x [mm]Z_{2^{4}}[/mm] x [mm]Z_{3^{2}}[/mm] x [mm]Z_7.[/mm]
Ja, in der Form ist die Aufgabe doch recht einfach.
> zu 2.
>
> Einheitengruppe: {1,3} hat Primzahlordnung, also zyklisch.
Genau.
> Es ist zwar hier nicht gefragt: Aber wie wäre denn die
> Ordnung des Elementes 3 in dieser Einheitengruppe? Wäre
> doch 2, oder?
Stimmt.
> Ich sachte nämlich bis jetzt, dass, wenn
> alle Elemente (außer 1) ordnung 2 haben, eine Gruppe nicht
> zyklisch ist, wie z.B. die Einheitengruppe von [mm]Z_8....[/mm]
> Wäre toll, wenn mir das jemand erklären könnte.
Sei $G$ eine endliche Gruppe mit $|G|=n$. Dann heißt $G$ zyklisch, wenn ein $g [mm] \in [/mm] G$ existiert mit $ord(g) = n$ (also $G = [mm] \langle [/mm] g [mm] \rangle$).
[/mm]
Ist nun $n>2$ und $ord(g) [mm] \leq [/mm] 2$ für alle $g [mm] \in [/mm] G$, so ist $G$ also nicht zyklisch (so etwa bei der Einheitengruppe von [mm] $\IZ_8$, [/mm] diese hat $n=4$ Elemente).
In deinem Fall ist $n=2$, deshalb klappt es.
Der wichtige Punkt aber ist, dass eine endliche Gruppe genau dann zyklisch ist, wenn es ein Element gibt, dessen Ordnung gleich der Gruppenordnung ist.
lg
Schadow
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Hallo nochmal.
Erst mal vielen Dank für die schnelle Antwort.
Noch eine Frage zu meiner 1. Frage:
Da steht ja noch ein [mm] Z^{n-r} [/mm] in der Form, in der man das angeben soll. Das hatte ich bei meiner Antwort noch nicht beachtet. Allerdings ist mir auch nicht klar, was das in diesem Fall sein soll. Vor allem wurde nirgends erklärt, wofür das n steht...
Stimmt meine Antwort trotzdem, oder muss ich das noch angeben?
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Und: Wie geht man eigentlich vorm wenn man eine Primpotenzdarstellung gegeben hat und eine Darstellung finden soll, wie in Teil 1 gegeben?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:58 Fr 11.01.2013 | | Autor: | rollroll |
Hallo,
hat jemand Ideen zu meinen obigen Fragen?
LG
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:34 Sa 12.01.2013 | | Autor: | rollroll |
Hallo,
also ich wäre wirklich froh, wenn mir jemand die oben gestellten Fragen bitte beantworten könnte...
Danke schonmal
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:20 So 13.01.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:20 So 13.01.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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