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(Frage) überfällig  | | Datum: | 11:32 Mo 11.06.2012 | | Autor: | mikexx |
| Aufgabe | Meine Frage:
Es seien [mm] $(\Omega,\mathcal{F}), (\Omega_1,\mathcal{F}_1), (\Omega_2,\mathcal{F}_2)$ [/mm] messbare Räume. Zudem sei P ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf [mm] $(\Omega,\mathcal{F})$. $X_1\colon\Omega\to\Omega_1$ [/mm] sei eine [mm] $\mathcal{F}_1$-messbare [/mm] Zufallsvariable und [mm] $X_2\colon\Omega\to\Omega_2$ [/mm] sei eine [mm] $\mathcal{F}_2$-messbare [/mm] Zufallsvariable.
Setze [mm] $X\colon\Omega\to\Omega_1\times\Omega_2, \omega\mapsto (X_1(\omega),X_2(\omega))$ [/mm] und zeige, dass:
[mm] $X_1$ [/mm] und [mm] $X_2$ [/mm] sind stochastisch unabhängig [mm] $\Leftrightarrow X(P)=[X_1(P)]\otimes [X_2(P)]$ [/mm] |
Hallo und Moin! Ich habe mich dran versucht. Hier das Ergebnis dieses Versuchs. 
[mm] "$\Rightarrow":
[/mm]
Seien [mm] $X_1$ [/mm] und [mm] $X_2$ [/mm] stochastisch unabhängig.
[mm] $[X(P)](F_1,F_2)=P(X^{-1}(F_1,F_2))=P\left(\left\{\omega\in\Omega : X_1(\omega)=F_1~\wedge~X_2(\omega)=F_2\right\}\right)$
[/mm]
[mm] $=P\left(\left\{\omega\in\Omega : X_1(\omega)=F_1\right\}\cap\left\{\omega\in\Omega : X_2(\omega)=F_2\right\}\right)$
[/mm]
[mm] $=P(X_1^{-1}(F_1)\cap X_2^{-1}(F_2))$
[/mm]
Und aufgrund der Voraussetzung:
[mm] $=P(X_1^{-1}(F_1))\cdot P(X_2^{-1}(F_2))$
[/mm]
[mm] $=[X_1(P)](F_1)\cdot [X_2(P)](F_2)$und [/mm] das für alle beliebigen [mm] $F_1\in\mathcal{F}_1, F_2\in\mathcal{F}_2$
[/mm]
[mm] "$\Leftarrow$":
[/mm]
Sei [mm] $X(P)=X_1(P)\otimes X_2(P)$.
[/mm]
[mm] $P(X_1^{-1}(F_1)\cap X_2^{-1}(F_2))=P\left(\left\{\omega\in\Omega : X_1(\omega)=F_1\right\}\cap\left\{\omega\in\Omega : X_2(\omega)=F_2\right\}\right)$
[/mm]
[mm] $=[X(P)](F_1,F_2)=[X_1(P)](F_1)\cdot [X_2(P)](F_2)$
[/mm]
[mm] $=P(X_1^{-1}(F_1))\cdot P(X_2^{-1}(F_2))$
[/mm]
[mm] $\forall F_1\in\mathcal{F}_1, F_2\in\mathcal{F}_2$
[/mm]
Wenn mir jemand sagen könnte, ob das so okay ist und wenn nicht, wie es okay wäre... wäre ich froh.
LG
[mm] \textit{mikexx}
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:24 Mo 11.06.2012 | | Autor: | mikexx |
Hat echt keiner eine Ahnung, ob das okay ist?
Sorry, wenn ich pushe, aber ich benötige das für einen weiteren Beweis.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:20 Mi 13.06.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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