matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Hochschulmathe
  Status Uni-Analysis
    Status Reelle Analysis
    Status UKomplx
    Status Uni-Kompl. Analysis
    Status Differentialgl.
    Status Maß/Integrat-Theorie
    Status Funktionalanalysis
    Status Transformationen
    Status UAnaSon
  Status Uni-Lin. Algebra
    Status Abbildungen
    Status ULinAGS
    Status Matrizen
    Status Determinanten
    Status Eigenwerte
    Status Skalarprodukte
    Status Moduln/Vektorraum
    Status Sonstiges
  Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Algebra
    Status Zahlentheorie
  Status Diskrete Mathematik
    Status Diskrete Optimierung
    Status Graphentheorie
    Status Operations Research
    Status Relationen
  Status Fachdidaktik
  Status Finanz+Versicherung
    Status Uni-Finanzmathematik
    Status Uni-Versicherungsmat
  Status Logik+Mengenlehre
    Status Logik
    Status Mengenlehre
  Status Numerik
    Status Lin. Gleich.-systeme
    Status Nichtlineare Gleich.
    Status Interpol.+Approx.
    Status Integr.+Differenz.
    Status Eigenwertprobleme
    Status DGL
  Status Uni-Stochastik
    Status Kombinatorik
    Status math. Statistik
    Status Statistik (Anwend.)
    Status stoch. Analysis
    Status stoch. Prozesse
    Status Wahrscheinlichkeitstheorie
  Status Topologie+Geometrie
  Status Uni-Sonstiges

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenLineare Algebra SonstigesProduktregel Kreuzprodukt
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Deutsch • Englisch • Französisch • Latein • Spanisch • Russisch • Griechisch
Forum "Lineare Algebra Sonstiges" - Produktregel Kreuzprodukt
Produktregel Kreuzprodukt < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Algebra Sonstiges"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Produktregel Kreuzprodukt: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:37 Do 22.10.2009
Autor: artischocke

Aufgabe
Beweisen Sie die Produktregel für die Ableitung von Kreuzprodukten

[mm] \bruch{d}{dt}(a \times b) = \bruch{da}{dt} \times b = a \times \bruch{db}{dt} [/mm]

ohne Benutzung der Koordinatendarstellungen von a und b

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Wäre nett wenn jemand die Muße hat kurz über meinen Weg/Ansatz drüber zu schauen und mir zu sagen, ob das so passt. Danke.

Ich bin ausgegangen von der Definition:

[mm] (a \times b) = \left( \left| \vec a \right| * \left| \vec b \right| * \sin \alpha \right) * \vec n [/mm]

[mm] (a \times b)' = \left( \left( \left| \vec a \right| * \left| \vec b \right| * \sin \alpha \right) * \vec n \right) ' [/mm]

Da [mm] \left| \vec a \right| * \left| \vec b \right| [/mm] ja nun Skalare sind, und [mm] \sin \alpha [/mm] sowie [mm] \vec n [/mm] konstante "Faktoren" sind, kann ich das ganze doch reduzieren zu:

[mm] (a \times b)' = \left( \sin \alpha \right) * \vec n \left( \left| \vec a \right| * \left| \vec b \right| \right) ' = \left( \sin \alpha \right) * \vec n \left( \left| \vec a \right|' * \left| \vec b \right| + \left| \vec a \right| * \left| \vec b \right|' \right) [/mm]

oder irre ich mich da?

Das wäre dann ja:

[mm] (a \times b)' = \left( \sin \alpha \right) * \vec n \left( \left| \vec a \right|' * \left| \vec b \right| + \left| \vec a \right| * \left| \vec b \right|' \right) = \left( \left| \vec a \right|' * \left| \vec b \right| * \sin \alpha \right) * \vec n + \left( \left| \vec a \right| * \left| \vec b \right|' * \sin \alpha \right) * \vec n[/mm]

[mm] (a \times b)' = \vec a ' \times \vec b + \vec a \times \vec b ' qed [/mm]

Stimmt das so? Danke für eure Hilfe! :)

        
Bezug
Produktregel Kreuzprodukt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:45 Do 22.10.2009
Autor: pelzig

Ich bin zwar kein Physiker und  habe auch keinen Alternativ-Vorschlag, aber weder [mm] $|\vec{a}|,|\vec{b}|,\sin\alpha$ [/mm] noch [mm] $\vec{n}$ [/mm] sind konstant in Bezug auf t. Wenn [mm] $\vec{a}$ [/mm] oder [mm] $\vec{b}$ [/mm] sich ändern, dann auch deren Längen, deren Winkel sowie der Einheitsnormalenvektor...

Gruß, Robert

Bezug
                
Bezug
Produktregel Kreuzprodukt: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:38 Do 22.10.2009
Autor: artischocke

Hmmm...aber wo ändert sich der Winkel denn [mm] \sin \alpha [/mm] denn? Da blick ich jetzt nicht durch. *smile* Und der Normaleneinheitsvektor [mm] \vec n [/mm] sollte sich ja auch net ändern.

Ich war mit eher unschlüssig, ob ich mit den Beträgen so arbeiten darf.

Oder jemand einen komplett anderen Ansatz parat?

Bezug
                        
Bezug
Produktregel Kreuzprodukt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:11 Do 22.10.2009
Autor: weduwe


> Hmmm...aber wo ändert sich der Winkel denn [mm]\sin \alpha[/mm]
> denn? Da blick ich jetzt nicht durch. *smile* Und der
> Normaleneinheitsvektor [mm]\vec n[/mm] sollte sich ja auch net
> ändern.
>  
> Ich war mit eher unschlüssig, ob ich mit den Beträgen so
> arbeiten darf.
>  
> Oder jemand einen komplett anderen Ansatz parat?


na klar ändern sich alle diese größen mit t, wenn die beiden vektoren von t abhängen :-)

ich würde es mit grenzwertbildung versuchen:

[mm] \frac{d}{dt}(\vec{a}\times\vec{b})=lim_{\Delta t\to 0}\frac{(\vec{a}+\Delta\vec{a})\times(\vec{b}+\Delta\vec{b})-\vec{a}\times\vec{b}}{\Delta t}=... [/mm]


Bezug
        
Bezug
Produktregel Kreuzprodukt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:24 Do 22.10.2009
Autor: Al-Chwarizmi


> Beweisen Sie die Produktregel für die Ableitung von
> Kreuzprodukten
>  
> [mm] \bruch{d}{dt}(a \times b) = \bruch{da}{dt} \times b\ \red{=}\ a \times \bruch{db}{dt} [/mm]

Da muss natürlich ein Pluszeichen stehen.
  

> ohne Benutzung der Koordinatendarstellungen von a und b


Hallo artischocke,

am einfachsten wäre wohl wirklich ein Beweis mit
der Koordinatendarstellung. Wenn dies nun aber
nicht zugelassen sein soll, denke ich an einen Beweis
über den Weg von Differenzenquotienten und unter
Benützung der Linearitätseigenschaften des Vektor-
produktes.

Setzen wir also

      [mm] $\Delta{a}:=a(t+\Delta{t})-a(t)$ [/mm]

      [mm] $\Delta{b}:=b(t+\Delta{t})-b(t)$ [/mm]

      $\ [mm] v(t):=a(t)\times [/mm] b(t)$

      [mm] $\Delta{v}:=v(t+\Delta{t})-v(t)$ [/mm]

Wenn man nun [mm] \Delta{v} [/mm] sorgfältig durch a(t),b(t),
[mm] \Delta{a} [/mm] und [mm] \Delta{b} [/mm] ausdrückt und dann den Differenzen-
quotienten

      [mm] $\frac{\Delta{v}}{\Delta{t}} [/mm]

betrachtet und für [mm] t\to{0} [/mm] untersucht, sollte man
zum gewünschten Nachweis kommen.


LG      Al-Chw.


Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Algebra Sonstiges"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.unimatheforum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]