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huhu zusammen ;)
Ich lern grad für meine mündl. Prüfung in lin. Algebra und verstehe folgende Definition nicht:
" eine lineare Abbildung T: V [mm] \to [/mm] V heißt projektion von V auf den Teilraum U entlang von Teilraum W, falls V = u [mm] \oplus [/mm] w gilt und T(x) = u für alle x = u + w [mm] \in [/mm] U+W erfüllt ist."
Kann mir das jemand für Dummies erklären? Anhand von wiki verstehe ich eig ganz gut was im allg. eine Projektion ist.
Lg,
Eve
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> huhu zusammen ;)
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> Ich lern grad für meine mündl. Prüfung in lin. Algebra
> und verstehe folgende Definition nicht:
Hallo,
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> " eine lineare Abbildung T: V [mm]\to[/mm] V heißt projektion von V
> auf den Teilraum U entlang von Teilraum W, falls V = u [mm]\oplus[/mm] w
Es muß hier [mm] "V=U\oplus [/mm] W " heißen.
> gilt und T(x) = u für alle x = u + w [mm]\in[/mm] U+W
(hier ist [mm] u\in [/mm] U und [mm] w\in [/mm] W)
> erfüllt ist."
>
> Kann mir das jemand für Dummies erklären?
Wenn Du uns verraten würdest, was genau Du nicht verstehst, dann wäre es leichter...
Man hat hier einen VR V, welcher die direkte Summe zweier Unterräume U und W ist.
Dies hat unter anderem zur Folge, daß man jeden Vektor [mm] v\in [/mm] V in eindeutiger Weise schreiben kann als v=u+w mit [mm] u\in [/mm] U und [mm] w\in [/mm] W.
Weil das so ist, kann man die Abbildung T definieren, die jedem Vektor aus V seine Komponente in Richtung U zuordnet.
Diese Abbildung heißt dann "Projektion von V auf U entlang W".
Beispiel:
Nehmen wir [mm] V:=\IR^3, U:=<\vektor{1\\2\\3}, \vektor{4\\5\\6}> [/mm] , [mm] W:=<\vektor{1\\1\\0}>.
[/mm]
Es ist [mm] V=U\oplus [/mm] W.
Wir definieren
[mm] T(v):=r\vektor{1\\2\\3}+s\vektor{4\\5\\6} \qquad [/mm] für [mm] v=r\vektor{1\\2\\3}+s\vektor{4\\5\\6}+t\vektor{1\\1\\0}.
[/mm]
Was passiert? Jeder Vektor wird entlang der Richtung [mm] \vektor{1\\1\\0} [/mm] beleuchtet und sein Schatten auf dem Schirm (der Ebene) U betrachtet.
LG Angela
> Anhand von
> wiki verstehe ich eig ganz gut was im allg. eine Projektion
> ist.
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> Lg,
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> Eve
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:49 Do 16.08.2012 | | Autor: | fred97 |
> huhu zusammen ;)
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> Ich lern grad für meine mündl. Prüfung in lin. Algebra
> und verstehe folgende Definition nicht:
>
> " eine lineare Abbildung T: V [mm]\to[/mm] V heißt projektion von V
> auf den Teilraum U entlang von Teilraum W, falls V = u
> [mm]\oplus[/mm] w gilt und T(x) = u für alle x = u + w [mm]\in[/mm] U+W
> erfüllt ist."
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> Kann mir das jemand für Dummies erklären? Anhand von
> wiki verstehe ich eig ganz gut was im allg. eine Projektion
> ist.
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> Lg,
>
> Eve
Mir ist folgende Def. lieber:
T: V [mm]\to[/mm] V heißt Projektion : [mm] \gdw T^2=T
[/mm]
Dann kann man zeigen (probiers mal !)
T ist eine Projektion [mm] \gdw [/mm] es gibt Unterräume U und W von V mit:
V= U [mm] \oplus [/mm] W und für x [mm] \in [/mm] V mit x=u+w (u [mm] \in [/mm] U , w [mm] \in [/mm] W) gilt: Tv=u.
In diesem Fall ist Bild(T)=U und Kern(T)=W
FRED
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