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Moinsen!
Ich habe Folgendes Problem, ich habe in Numerik die Folgende Aufgabe aufbekommen:
Die Matrix A [mm] \in \IR^{m \times n}, [/mm] m>n habe maximalen Rang.
a) Zeigen Sie, dass [mm] A^{T}*A [/mm] symmetrisch positiv definit ist.
b) Die Lösung des Normalgleichungssystems [mm] A^{T}*A*x=A^{T}*b [/mm] definiert eine Projektion b [mm] \to [/mm] P*b:=A*x von b in den Bild-Raum von A. Leiten Sie daraus die Projektionsmatrix P her und zeigen ie, dass für P die Eigenschaften einer orthogonalen Projektion [mm] P^{2}=P,P^{T}=P [/mm] und P(I-P)=0 gelten.
Also zu a) hab ich mir Folgendes gedacht: [mm] A^{T}*A=(A^{T}*A)^{T} \to [/mm] Symmetrie. [mm] x^{T}*A^{T}*A*x=||Ax||_{2}^{2} [/mm] > 0 [mm] \to [/mm] pos. Eigenwerte und somit die positive definitheit.
Ich hoffe das meine Gedanken hier soweit richtig sind.
Nun kommt mein Problem! Ich habe überhaupt keine Idee wie ich auf die Matrix kommen soll. Ich bin für jeden Ansatz dankbar.
ciaoi, und schonmal vielen dank im voraus
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Hallo Adelskrone,
> Die Matrix A [mm]\in \IR^{m \times n},[/mm] m>n habe maximalen
> Rang.
> a) Zeigen Sie, dass [mm]A^{T}*A[/mm] symmetrisch positiv definit
> ist.
> b) Die Lösung des Normalgleichungssystems
> [mm]A^{T}*A*x=A^{T}*b[/mm] definiert eine Projektion b [mm]\to[/mm] P*b:=A*x
> von b in den Bild-Raum von A. Leiten Sie daraus die
> Projektionsmatrix P her und zeigen ie, dass für P die
> Eigenschaften einer orthogonalen Projektion [mm]P^{2}=P,P^{T}=P[/mm]
> und P(I-P)=0 gelten.
>
> Also zu a) hab ich mir Folgendes gedacht:
> [mm]A^{T}*A=(A^{T}*A)^{T} \to[/mm] Symmetrie.
> [mm]x^{T}*A^{T}*A*x=||Ax||_{2}^{2}[/mm] > 0 [mm]\to[/mm] pos. Eigenwerte
> und somit die positive definitheit.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Das mit den Eigenwerten kannst ruhig weglassen denn [mm] x^T(A^TA)x [/mm] >0 heißt ja bereits positive Definitheit.
zu b)
Du hast ja [mm]A^{T}*A*x=A^{T}*b[/mm] als Startpunkt gegeben. Dies kannst Du so umformen das dasteht Ax=.... *b . Und .... wäre dann Dein P.
Aufpassen mußt Du nur das die Umformungen auch alle möglich sind [mm] A^{-1} [/mm] gibt's z.B. nicht da A nichtmal quadratisch ist.
viele Grüße
mathemaduenn
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