Punkt im 90°-Winkel berechnen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo, ich habe folgendes Problem:
Gegeben sei eine zweidimensionale "Zeichenebene" (es handelt sich um ein Programm, in dem Fliesskommazahlen nicht erlaubt sind, aber daran soll's nicht scheitern) mit einem Nullpunkt und den gegebenen Punkten P1 und Q1.
Dabei gibt es auf dem Vektor vom Nullpunkt nach P1 einen Punkt P1', so daß der Vektor P1' -> Q1 im 90°-Winkel zum Vektor Nullpunkt -> P1 steht. Nun "bewegt" sich P1 an eine beliebige andere Stelle der Zeichenebene (= P2). Ich moechte den Punkt Q2 relativ zu P2 setzen, genauso wie Q1 und P1 zueinander stehen (also wieder im 90°-Winkel).
Das Ganze soll ausschließlich auf Vektoren basieren (ohne Winkelfunktionen o.ä.). Wie mache ich das? "Skalarprodukt" kam mir in den Sinn, aber ich bekomme keine brauchbare Lösung hin, um die Position von Q2 in Abhängigkeit von P2 zu berechnen.
Vermutlich sehe ich den Wald vor lauter Bäumen nicht, aber für einen Lichtblick wäre ich super dankbar!!
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Hallo neuling_hier
> Gegeben sei eine zweidimensionale "Zeichenebene" (es
> handelt sich um ein Programm, in dem Fliesskommazahlen
> nicht erlaubt sind, aber daran soll's nicht scheitern) mit
> einem Nullpunkt und den gegebenen Punkten P1 und Q1.
>
> Dabei gibt es auf dem Vektor vom Nullpunkt nach P1 einen
> Punkt P1', so daß der Vektor P1' -> Q1 im 90°-Winkel zum
> Vektor Nullpunkt -> P1 steht. Nun "bewegt" sich P1 an eine
> beliebige andere Stelle der Zeichenebene (= P2). Ich
> moechte den Punkt Q2 relativ zu P2 setzen, genauso wie Q1
> und P1 zueinander stehen (also wieder im 90°-Winkel).
>
> Das Ganze soll ausschließlich auf Vektoren basieren (ohne
> Winkelfunktionen o.ä.). Wie mache ich das? "Skalarprodukt"
> kam mir in den Sinn, aber ich bekomme keine brauchbare
> Lösung hin, um die Position von Q2 in Abhängigkeit von P2
> zu berechnen.
>
> Vermutlich sehe ich den Wald vor lauter Bäumen nicht, aber
> für einen Lichtblick wäre ich super dankbar!!
Nehmen wir zwei Punkte P und Q, die in der von dir definierten Beziehung stehen.
Alle Punkte Q müssen folgende Gleichung erfüllen:
[mm]\vec{q}=r\cdot \vec{p}+s\cdot \vec{n}[/mm] (1)
wobei r und s beliebige reelle Zahlen sind, und [mm] \vec{n} [/mm] orthogonal zu [mm] \vec{p} [/mm] ist also [mm] \vec{n}\cdot\vec{p}=0
[/mm]
[mm]
\left(
\begin{array}{cc}
n_{x} & n_{y}
\end{array}
\right)
\cdot
\left(
\begin{array}{c}
p_{x} \\ p_{y}
\end{array}
\right)=0
[/mm]
[mm]n_{x}p_{x}+n_{y}p_{y}=0[/mm]
Eine Lösung ist
[mm]n_{x}=p_{y}, \qquad n_{y}=-p_{x}[/mm]
Dies in Gleichung (1) eigesetzt ergibt.
[mm]
\left(
\begin{array}{c}
q_{x} \\ q_{y}
\end{array}
\right)=r
\left(
\begin{array}{c}
p_{x} \\ p_{y}
\end{array}
\right)
+s\left(
\begin{array}{c}
p_{y} \\ -p_{x}
\end{array}
\right)=
\left(
\begin{array}{cc}
r & s \\
-s & r
\end{array}
\right)\cdot
\left(
\begin{array}{c}
p_{x} \\ p_{y}
\end{array}
\right)
[/mm]
Also Punkt Q hängt von zwei Parameter ab r und s. Diese kannst du einschränken, wenn du weitere Bedingungen hinzufügst.
Schöne Grüße, 
Ladis
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