Punktw./gleichm. Konvergenz < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Die Funktionen [mm] f_n:\IR \to \IR [/mm] seien definiert durch
[mm] f_n(x)=\bruch{n}{n^2+x^2}
[/mm]
Untersuchen Sie die Funktionenfolge [mm] (f_n) [/mm] auf punktweise und auf gleichmäßige Konvergenz. |
Hallo, hab mich mal an der punktweisen Konvergenz versucht. Also ich hab dazu folgende Definition: ...heißt punktweise konvergent gegen f, falls gilt [mm] f_n(x)-f(x) [/mm] = 0 für n [mm] \to \infty, [/mm] dann hab ich bei [mm] f_n(x) [/mm] mal durch [mm] n^2 [/mm] gekürzt und erhalte
[mm] f_n(x)=\bruch{\bruch{1}{n}}{1+\bruch{x^2}{n^2}}=\bruch{0}{1+\bruch{x^2}{n^2}} \to [/mm] 0 für n [mm] \to \infty. [/mm] Also [mm] f_n [/mm] konvergiert schonmal gegen irgendwas, aber gegen was? anders gefragt, wie finde ich nun die Funktion f?
Bei der gleichmäßigen Konvergenz bräuchte ich allerdings einen kleinen Ansatz um was hinzukriegen 
Danke schon mal im Voraus
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:50 Sa 03.05.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Die Funktionen [mm]f_n:\IR \to \IR[/mm] seien definiert durch
> [mm]f_n(x)=\bruch{n}{n^2+x^2}[/mm]
> Untersuchen Sie die Funktionenfolge [mm](f_n)[/mm] auf punktweise
> und auf gleichmäßige Konvergenz.
> Hallo, hab mich mal an der punktweisen Konvergenz
> versucht. Also ich hab dazu folgende Definition: ...heißt
> punktweise konvergent gegen f, falls gilt [mm]f_n(x)-f(x)[/mm] [mm] $\blue{\to}$ [/mm] 0
> für n [mm]\to \infty,[/mm] dann hab ich bei [mm]f_n(x)[/mm] mal durch [mm]n^2[/mm]
> gekürzt und erhalte
>
> [mm]f_n(x)=\bruch{\bruch{1}{n}}{1+\bruch{x^2}{n^2}}=\bruch{0}{1+\bruch{x^2}{n^2}} \to[/mm]
> 0 für n [mm]\to \infty.[/mm] Also [mm]f_n[/mm] konvergiert schonmal gegen
> irgendwas, aber gegen was? anders gefragt, wie finde ich
> nun die Funktion f?
> Bei der gleichmäßigen Konvergenz bräuchte ich allerdings
> einen kleinen Ansatz um was hinzukriegen
>
> Danke schon mal im Voraus
es steht doch dort: [mm] $f_n(x) \to [/mm] 0$ gilt für jedes feste $x [mm] \in \IR$, [/mm] d.h. die punktweise Grenzfunktion ist [mm] $f(x):\equiv [/mm] 0$ (d.h. $f: [mm] \IR \to \IR$ [/mm] mit $f(x):=0$ für alle $x [mm] \in \IR$).
[/mm]
Um zu zeigen, dass diese Konvergenz auch glm. ist:
Es gilt
[mm] $S_n:=\sup\{|f(x)-f_n(x)|: x \in \IR\} \le \frac{1}{n}$ [/mm] für jedes $n [mm] \in \IN$.
[/mm]
Warum gilt das? Dazu überlege:
Ist $x [mm] \in \IR$ [/mm] beliebig, aber fest, so gilt (weiterhin [mm] $f(x)\equiv0$):
[/mm]
[mm] $|f_n(x)-f(x)|=|f_n(x)|=\frac{n}{n^2+x^2} \le \frac{1}{n}$ [/mm] (Warum?)
Daraus folgt dann [mm] $S_n \le \frac{1}{n}$ [/mm] (Warum?)
Gruß,
Marcel
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