Quotientenkriterium < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:07 Mi 19.03.2014 | | Autor: | Ayame |
| Aufgabe | Quotientenkriterium:
Falls ein [mm] 0\le [/mm] q < 1 und N [mm] \in \IN [/mm] existieren, sodass [mm] |a_{n+1}|\le q|a_{n}| [/mm] für alle n [mm] \ge [/mm] N gilt, dann konveriert die Reihe [mm] \summe_{n=0}^{\infty} a_{n} [/mm] absolut. Für [mm] \bruch{|a_{n+1}|}{|a_{n}|} [/mm] > 1 ist die Reihe divergent. |
Hallo
Ich hätte zwei Verständinisfragen zu diesem Kriterium.
1) Wieso kann für q=1 keine Aussage über das Kongruenzverhalten getroffen werden?
Bei diesem Kriterium wird doch die geometrische Reihe [mm] \summe_{n=0} q^{n} [/mm] als Vergleichsreihe benutzt. Doch die divergieren doch mit |q| [mm] \ge [/mm] 1 bzw konvergieren für |q|<1.
2) Wieso klappt das Kriterium nicht bei harmonischen Reihen?
[mm] \summe \bruch{1}{n} [/mm] ist diverent aber es kommt q=1 raus
[mm] \summe \bruch{(-1)^{n}}{n} [/mm] ist bedingt konvgerent, wieder q=1
[mm] \summe \bruch{1}{n^{2}} [/mm] absolut konverent, wieder q=1
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:29 Mi 19.03.2014 | | Autor: | fred97 |
> Quotientenkriterium:
> Falls ein [mm]0\le[/mm] q < 1 und N [mm]\in \IN[/mm] existieren, sodass
> [mm]|a_{n+1}|\le q|a_{n}|[/mm] für alle n [mm]\ge[/mm] N gilt, dann
> konveriert die Reihe [mm]\summe_{n=0}^{\infty} a_{n}[/mm] absolut.
> Für [mm]\bruch{|a_{n+1}|}{|a_{n}|}[/mm] > 1 ist die Reihe
> divergent.
> Hallo
> Ich hätte zwei Verständinisfragen zu diesem Kriterium.
>
> 1) Wieso kann für q=1 keine Aussage über das
> Kongruenzverhalten getroffen werden?
Diese Frage hast Du Dir doch selbst unter 2) beantwortet !!!
>
> Bei diesem Kriterium wird doch die geometrische Reihe
> [mm]\summe_{n=0} q^{n}[/mm] als Vergleichsreihe benutzt.
Ja.
> Doch die
> divergieren doch mit |q| [mm]\ge[/mm] 1 bzw konvergieren für
> |q|<1.
So ist es. Was ist nun Deine Frage ?
>
> 2) Wieso klappt das Kriterium nicht bei harmonischen
> Reihen?
> [mm]\summe \bruch{1}{n}[/mm] ist diverent aber es kommt q=1 raus
> [mm]\summe \bruch{(-1)^{n}}{n}[/mm] ist bedingt konvgerent, wieder
> q=1
> [mm]\summe \bruch{1}{n^{2}}[/mm] absolut konverent, wieder q=1
Wie gesagt: im Falle q=1 liefert das Ktiterium keine allgemeine Aussage
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:49 Mi 19.03.2014 | | Autor: | Ayame |
Danke für die schnelle Antwort.
Klar, ich sehe an Beispielen dass man für q=1 ich keine Aussage schließen kann, aber mich wurmt es, dass ich mir nicht erklären kann wieso das so ist.
Ich würde erst davon ausgehen, dass die geom. Reihe mit q=1 : [mm] \summe 1^{n} [/mm] = [mm] \summe [/mm] 1 , die bekanntlich divergiert, auch als Minorante im Quotientenkriterium fungieren könnte. Und nicht erst alle geom Reihen mit q > 1.
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Klar ist, dass geometrische Reihen mit |q|<1 konvergieren, dafür gibt es Formeln, die dies besagen, bzw. vollst. Induktion.
Klar ist auch, dass diese für |q|>1 divergieren, bei positivem q zählst du immer mehr als 1 hinzu, bei negativen alterniert die Summe mit immer größerem Abstand um 0.
Nach dem Majorantenkriterium müssen nun die Beträge der Glieder der Folge kleiner oder gleich einer geometrischen Folge sein, um die Konvergenz sicherzustellen. Konvergiert der Quotient [mm] a_{n+1}/a_n [/mm] aber gegen 1, bedeutet dies, dass Jede (!) geometrische Folge, deren q<1 ist, irgendwann überschritten wird und damit nicht mehr als Majorante taugt. Du hast somit nichts zum Vergleich in der Hand. So lange du nun nicht noch eine andere Folge finden kannst, die (trotzdem) Majorante ist und konvergiert, weißt du also nicht, was passiert.
Eine ähnliche Situation hast du beim Differenzenquotienten: Du bildest (f(x)-f(a))/(x-a) und erhältst als Grenzwert immer 0/0. Aber je nach dem, wie dieser Quotient zusammengesetzt wird, erhältst du mal 3, mal -4, mal 0 und mal [mm] \infty. [/mm] Auch hier gibt es keine allgemeine Aussage, tatsächlich bekommt man je nach Ursprung sämtliche existierende Ableitungen aller Funktionen!
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