Quotientenkriterium = 1 < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | [mm] a_{k} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel{k²+4k}} [/mm] |
Hallo,
ich soll das Konvergenzverhalten der oben genannten Reihe untersuchen. Ich habe das Quotientenkriterium angewendet, wo die Reihe dann gegen 1 verläuft. Als nächstes hatten wir dann einen Vergleich aufgestellt - hier kommt meine eigentliche Frage. Ich verstehe nicht, was wir wirklich da gemacht haben.
Vergleich:
[mm] a_{k} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel{k²+4k}} \ge \bruch{1}{\wurzel{k²+4k+4}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{k+2} [/mm] = [mm] b_{k}
[/mm]
[mm] b_{k} [/mm] lief danach von 1 bis unendlich.
Im letzten Schritt wird ja die 2. binomische Formel angewendet, aber was wird davor gemacht? Einfach nur erweitert, um die Wurzel zu beseitigen?
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> Vergleich:
> [mm]a_{k}[/mm] = [mm]\bruch{1}{\wurzel{k²+4k}} \ge \bruch{1}{\wurzel{k²+4k+4}}[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{k+2}[/mm] = [mm]b_{k}[/mm]
> [mm]b_{k}[/mm] lief danach von 1 bis unendlich.
>
> Im letzten Schritt wird ja die 2. binomische Formel
> angewendet, aber was wird davor gemacht? Einfach nur
> erweitert, um die Wurzel zu beseitigen?
Hallo,
nein, da wurde abgeschätzt - natürlich mit dem Ziel, anschließend die binomische Formel zu verwenden.
Schau, dies hier ist auch eine Abschätzung: [mm] \bruch{3}{4}> \bruch{3}{4+17}=\bruch{1}{7}.
[/mm]
Abschätzung [mm] \not= [/mm] Gleichung, das muß man sich klarmachen.
Gruß v. Angela
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Und was sagt mir das für die Konvergenz der Reihe?
Über einen Link, wo das noch mal erklärt wird, würde ich mich sehr freuen. Hab selbst auch schon mal gegoogelt, aber nix brauchbares gefunden.
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> Und was sagt mir das für die Konvergenz der Reihe?
Hallo,
Du hast jetzt eine Minorante für Deine Reihe gefunden, denn die Reihe
[mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{2+k} [/mm] (= [mm] \summe_{k=3}^{\infty}\bruch{1}{k})
[/mm]
divergiert, und weil jedes Folgenglied Deiner zu untersuchenden Reihe größer ist als die Folgenglieder dieser divergenten Reihe, divergiert Deine Reihe.
Nachlesen kannst Du das unter Majoranten- und Minorantenkriterium.
Die Majorante ist für Konvergenz, die Minorante für Divergenz.
> Über einen Link, wo das noch mal erklärt wird, würde ich
> mich sehr freuen.
Spontan würde ich mal in der Wikipedia gucken, aber Du solltest das auch in allen Analysisbüchern finden.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:58 Fr 11.01.2008 | | Autor: | phil-abi05 |
Hast mir echt geholfen, danke.
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Hallo, muss das Thema wohl noch mal aufgreifen - irgendwie ist mir eine Sache noch nicht ganz klar.
[mm] a_{k} [/mm] = [mm] \bruch{1}{k} [/mm]
ist ja konvergent. Wieso ist dann
[mm] a_{k} [/mm] = [mm] \bruch{1}{k+2}
[/mm]
divergent? Die Werte werden ja auch mit zunehmender Größe der Zahl k immer kleiner.
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> Hallo, muss das Thema wohl noch mal aufgreifen - irgendwie
> ist mir eine Sache noch nicht ganz klar.
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> [mm]a_{k}[/mm] = [mm]\bruch{1}{k}[/mm]
>
> ist ja konvergent. Wieso ist dann
>
> [mm]a_{k}[/mm] = [mm]\bruch{1}{k+2}[/mm]
>
> divergent? Die Werte werden ja auch mit zunehmender Größe
> der Zahl k immer kleiner.
Hallo,
da war ich einmal nicht so besserwisserisch pingelig, und gleich rächt sich das...
Deiner Überschrift "Quotientenkriterium" und der Formulierung Deiner Frage
"
Aufgabe
$ [mm] a_{k} [/mm] $ = $ [mm] \bruch{1}{\wurzel{k²+4k}} [/mm] $
Hallo,
ich soll das Konvergenzverhalten der oben genannten Reihe untersuchen. "
habe ich entnommen, daß Du die Reihe [mm] \summe_{k=1}^{\infty}a_k=\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{\wurzel{k²+4k}} [/mm] untersuchen sollst.
Die Untersuchung von Reihen geht mit den diversen Kriterien wie z.B Quotienten- und Majorantenkriterium vonstatten.
Das, was Du schriebst, sah so aus, als wäre das zu untersuchen. Ich hoffe, das war keine Fehlinterpretation meinerseits....
> [mm] a_{k}[/mm] [/mm] = [mm]\bruch{1}{k}[/mm] ist ja konvergent.
Richtig, aber [mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{k} [/mm] ist divergent, und wir haben doch Reihen untersucht.
Daß die Folge [mm] a_{k} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel{k²+4k}} [/mm] gegen 0 konvergiert, sieht man ja auch ohne großartige Untersuchungen.
Entwirrt? Verwirrt?
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:08 Fr 11.01.2008 | | Autor: | phil-abi05 |
Du hast vollkommen recht. Die Aufgabe am Anfang war ne Reihe, später hab ich dann wohl einfach was durcheinander gebracht bzw. nicht auf genaue Formulierungen geachtet. Vielen Dank dafür.
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