Quotientenregel oder Produktregel??? < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:04 Mi 18.02.2004 | | Autor: | MichaK |
Hallo alle zusammen,
wir hab grad mit den Quotientenregel und der Produktregel angefangen und ich muss ehrlich sagen ich kapier gar nichts mehr!!
Nun auf jeden Fall haben wir ein paar HA aufbekommen wo ich echt vor einer Wand stehe. Also:
f(x) = (1+x2)2
Ich weiß echt nicht weiter...
wäre nett wenn ihr mir weiter helfen könntet.
MfG Michael
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:35 Mi 18.02.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Micha,
willkommen im MatheRaum  !
Fangen wir zunächst mit der Produktregel an.
Die Produktregel lautet: Eine Funktion $f$, die sich als Produkt zweier Funktionen $g$ und $h$ schreiben läßt ($f=g*h$) wird mit folgender Regel abgeleitet:
$$f'=g'*h+g*h'$$
(Das "naive" faktorweise Ableiten ist also im allgemeinen falsch: [mm] $f'\neq [/mm] g'*h'$)
Beispiel:
[mm] $f(x)=(x^2+1)*x^3$
[/mm]
Hier muß man zunächst erkennen, dass sich $f$ als das Produkt der beiden Funktionen [mm] $g(x)=x^2+1$ [/mm] und [mm] $h(x)=x^3$ [/mm] darstellen läßt: [mm] $f(x)=g(x)*h(x)=(x^2+1)*x^3$.
[/mm]
In einer Nebenrechnung ermittle ich die Ableitungen von $g$ und $h$, weil sie in der Produktregel verwendet werden:
$g'(x)=2x$ und [mm] $h'(x)=3x^2$.
[/mm]
Diese einzelnen Ableitungen dürften klar sein, falls nicht, frage bitte nach.
Jetzt können wir die Produktregel anwenden:
[mm] $$f'(x)=g'(x)*h(x)+g(x)*h'(x)=\underbrace{2x}_{=g'(x)}*\underbrace{x^3}_{=h(x)}+(\underbrace{x^2+1}_{=g(x)})*\underbrace{3x^2}_{=h'(x)}$$
[/mm]
Das könnte man jetzt noch vereinfachen bzw. zusammenfassen, wenn man Lust hätte.
Nun steht in deinem Beispiel [mm] $f(x)=(1+x^2)^2$, [/mm] $f$ ist also bei oberflächlicher Betrachtung gar kein Produkt (und schon gar kein Quotient).
Da aber ein Potenz (mit natürlichem Exponenten) eine abkürzende Schreibweise für ein mehrmalige Multiplikation eines Terms mit sich selbst ist, ist $f$ nichts anderes als [mm] $f(x)=(1+x^2)*(1+x^2)$ [/mm] und wir können als Faktoren setzen: [mm] $g(x)=1+x^2$ [/mm] und [mm] $h(x)=1+x^2$.
[/mm]
Kommst du nun mit deiner Aufgabe zurecht? Falls nicht, melde dich bitte, übrigens auch dann, wenn du dein Ergebnis von uns kontrolliert haben willst.
Zum Schluß erwähne ich noch die Quotientenregel; sie lautet für eine Funktion $f$, die sich als Quotient zweier Funktionen $g$ und $h$ schreiben läßt (also [mm] $f=\frac{g}{h}$):
[/mm]
[mm] $$f'=\bruch{g'*h-g*h'}{h^2}$$.
[/mm]
Probiere auch hier ein paar Übungsaufgaben zur Quotientenregel, wir kontrollieren sie gerne bzw. helfen bei Problemen.
Viel Erfolg,
Marc.
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