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Randfläche von Polyeder: Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:25 Mi 09.12.2015
Autor: mathstu

Aufgabe
Zu A [mm] \in \IR^{mxn} [/mm] , m [mm] \ge [/mm] n und b [mm] \in \IR^{m} [/mm] sei das Polyeder X:={x [mm] \in \IR^{n} [/mm] : Ax [mm] \ge [/mm] b} gegeben. Zu einer Indexmenge J [mm] \subseteq [/mm] {1,...,m} bezeichne [mm] M_{J} [/mm] := {x [mm] \in [/mm] X : [mm] a^{(j)}^{T} [/mm] x = [mm] b_{j}, [/mm] j [mm] \in [/mm] J}. Zeigen Sie: Für alle J [mm] \subseteq [/mm] {1,...,m} ist [mm] M_{J} [/mm] eine Randfläche von X oder [mm] M_{J} [/mm] = [mm] \emptyset. [/mm]

Guten Tag.

Wir haben in der Vorlesung Randflächen folgendermaßen definiert:
Sei R [mm] \not= \emptyset [/mm] und beide Mengen R [mm] \subseteq [/mm] M [mm] \subseteq \IR^{n} [/mm] konvex. Dann heißt R Randfläche von M, wenn [mm] \forall [/mm] x,y [mm] \in [/mm] M: (x,y) [mm] \cap [/mm] R [mm] \not= \emptyset \Rightarrow [/mm] x,y [mm] \in [/mm] R.

Ich habe nun gedacht, dass ich bei dieser Aufgabe vielleicht einen Widerspruchsbeweis machen kann.

Also seien x, y [mm] \in [/mm] X, mit (x,y) [mm] \cap M_{J} \not= \emptyset, [/mm] aber x,y [mm] \not\in M_{J}. [/mm]
Da x,y [mm] \in [/mm] X gilt: Ax [mm] \ge [/mm] b und Ay [mm] \ge [/mm] b.
Da (x,y) [mm] \cap M_{J} \not= \emptyset \Rightarrow \exists [/mm] z [mm] \in [/mm] (x,y) [mm] \cap M_{J} [/mm] mit [mm] a^{(j)}^{T} [/mm] z = [mm] b_{j}, [/mm] j [mm] \in [/mm] J und z = [mm] \lambda [/mm] x + (1- [mm] \lambda) [/mm] y mit [mm] \lambda \in [/mm] ]0,1[, da die Punkte x und y in (x,y) nicht enthalten sind.

Wir ersetzen z jetzt durch [mm] \lambda [/mm] x + (1- [mm] \lambda) [/mm] y in [mm] a^{(j)}^{T} [/mm] z = [mm] b_{j}: [/mm]

Dann gilt:
[mm] a^{(j)}^{T}z [/mm]
= [mm] a^{(j)}^{T}(\lambda [/mm] x + (1- [mm] \lambda) [/mm] y)
= [mm] \lambda a^{(j)}^{T}x [/mm] + (1- [mm] \lambda)a^{(j)}^{T}y [/mm]
= [mm] b_{j} [/mm]

Für [mm] \lambda [/mm] = 0 gilt : [mm] a^{(j)}^{T}y [/mm] = [mm] b_{j} [/mm] und für [mm] \lambda [/mm] = 1 gilt : [mm] a^{(j)}^{T}x [/mm] = [mm] b_{j} [/mm] (Bei diesem Schritt bin ich mir sehr unsicher, weil ich oben ja [mm] \lambda \in [/mm] ]0,1[ gesetzt habe, aber ich dachte dass man das so machen kann, weil [mm] M_{J} [/mm] konvex ist)
[mm] \Rightarrow [/mm] x,y [mm] \in M_{J} [/mm] ist ein Widerspruch, also gilt hier immer: [mm] \forall [/mm] x,y [mm] \in [/mm] X: (x,y) [mm] \cap M_{J} \not= \emptyset \Rightarrow [/mm] x,y [mm] \in M_{J}. [/mm]

Falls dies nun nicht gilt, folgt sofort, dass [mm] M_{J} [/mm] = [mm] \emptyset. [/mm]

Wäre super, wenn jemand mal hier drüber gucken kann und mir sagen kann, ob das so stimmt.

MfG, mathstu


Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Randfläche von Polyeder: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:01 Mi 09.12.2015
Autor: fred97


> Zu A [mm]\in \IR^{mxn}[/mm] , m [mm]\ge[/mm] n und b [mm]\in \IR^{m}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

sei das

> Polyeder X:={x [mm]\in \IR^{n}[/mm] : Ax [mm]\ge[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

b} gegeben. Zu einer

> Indexmenge J [mm]\subseteq[/mm] {1,...,m} bezeichne [mm]M_{J}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

:= {x [mm]\in[/mm]

> X : [mm]a^{(j)}^{T}[/mm] x = [mm]b_{j},[/mm] j [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

J}. Zeigen Sie: Für alle

> J [mm]\subseteq[/mm] {1,...,m} ist [mm]M_{J}[/mm] eine Randfläche von X oder
> [mm]M_{J}[/mm] = [mm]\emptyset.[/mm]
>  Guten Tag.
>  
> Wir haben in der Vorlesung Randflächen folgendermaßen
> definiert:
>  Sei R [mm]\not= \emptyset[/mm] und beide Mengen R [mm]\subseteq[/mm] M
> [mm]\subseteq \IR^{n}[/mm] konvex. Dann heißt R Randfläche von M,
> wenn [mm]\forall[/mm] x,y [mm]\in[/mm] M: (x,y) [mm]\cap[/mm] R [mm]\not= \emptyset \Rightarrow[/mm]
> x,y [mm]\in[/mm] R.
>  
> Ich habe nun gedacht, dass ich bei dieser Aufgabe
> vielleicht einen Widerspruchsbeweis machen kann.
>  
> Also seien x, y [mm]\in[/mm] X, mit (x,y) [mm]\cap M_{J} \not= \emptyset,[/mm]
> aber x,y [mm]\not\in M_{J}.[/mm]


Korrekt lautet das so:

seien x, y [mm]\in[/mm] X, mit (x,y) [mm]\cap M_{J} \not= \emptyset,[/mm] , aber x [mm][mm] \not\in M_{J} [/mm]  oder y [mm]\not\in M_{J} [/mm]




>  Da x,y [mm]\in[/mm] X gilt: Ax [mm]\ge[/mm] b und Ay
> [mm]\ge[/mm] b.
>  Da (x,y) [mm]\cap M_{J} \not= \emptyset \Rightarrow \exists[/mm] z
> [mm]\in[/mm] (x,y) [mm]\cap M_{J}[/mm] mit [mm]a^{(j)}^{T}[/mm] z = [mm]b_{j},[/mm] j [mm]\in[/mm] J und
> z = [mm]\lambda[/mm] x + (1- [mm]\lambda)[/mm] y mit [mm]\lambda \in[/mm] ]0,1[, da
> die Punkte x und y in (x,y) nicht enthalten sind.
>  
> Wir ersetzen z jetzt durch [mm]\lambda[/mm] x + (1- [mm]\lambda)[/mm] y in
> [mm]a^{(j)}^{T}[/mm] z = [mm]b_{j}:[/mm]
>  
> Dann gilt:
> [mm]a^{(j)}^{T}z[/mm]
> = [mm]a^{(j)}^{T}(\lambda[/mm] x + (1- [mm]\lambda)[/mm] y)
>  = [mm]\lambda a^{(j)}^{T}x[/mm] + (1- [mm]\lambda)a^{(j)}^{T}y[/mm]
>  = [mm]b_{j}[/mm]


Jetzt nutze aus: x [mm] \notin M_J [/mm] oder y [mm] \notin M_J. [/mm]

Dann bist Du fertig.

FRED


>  
> Für [mm]\lambda[/mm] = 0 gilt : [mm]a^{(j)}^{T}y[/mm] = [mm]b_{j}[/mm] und für
> [mm]\lambda[/mm] = 1 gilt : [mm]a^{(j)}^{T}x[/mm] = [mm]b_{j}[/mm] (Bei diesem Schritt
> bin ich mir sehr unsicher, weil ich oben ja [mm]\lambda \in[/mm]
> ]0,1[ gesetzt habe, aber ich dachte dass man das so machen
> kann, weil [mm]M_{J}[/mm] konvex ist)
>  [mm]\Rightarrow[/mm] x,y [mm]\in M_{J}[/mm] ist ein Widerspruch, also gilt
> hier immer: [mm]\forall[/mm] x,y [mm]\in[/mm] X: (x,y) [mm]\cap M_{J} \not= \emptyset \Rightarrow[/mm]
> x,y [mm]\in M_{J}.[/mm]
>  
> Falls dies nun nicht gilt, folgt sofort, dass [mm]M_{J}[/mm] =
> [mm]\emptyset.[/mm]
>  
> Wäre super, wenn jemand mal hier drüber gucken kann und
> mir sagen kann, ob das so stimmt.
>  
> MfG, mathstu
>  
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.


Bezug
                
Bezug
Randfläche von Polyeder: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:13 Mi 09.12.2015
Autor: mathstu


>  Da x,y [mm]\in[/mm] X gilt: Ax [mm]\ge[/mm] b und Ay
> [mm]\ge[/mm] b.

>  Da (x,y) [mm]\cap M_{J} \not= \emptyset \Rightarrow \exists[/mm] z

> [mm]\in[/mm] (x,y) [mm]\cap M_{J}[/mm] mit [mm]a^{(j)}^{T}[/mm] z = [mm]b_{j},[/mm] j [mm]\in[/mm] J und
> z = [mm]\lambda[/mm] x + (1- [mm]\lambda)[/mm] y mit [mm]\lambda \in[/mm] ]0,1[, da
> die Punkte x und y in (x,y) nicht enthalten sind.

>  

> Wir ersetzen z jetzt durch [mm]\lambda[/mm] x + (1- [mm]\lambda)[/mm] y in
> [mm]a^{(j)}^{T}[/mm] z = [mm]b_{j}:[/mm]

>  

> Dann gilt:
> [mm]a^{(j)}^{T}z[/mm]
> = [mm]a^{(j)}^{T}(\lambda[/mm] x + (1- [mm]\lambda)[/mm] y)

>  = [mm]\lambda a^{(j)}^{T}x[/mm] + (1- [mm]\lambda)a^{(j)}^{T}y[/mm]
>  = [mm]b_{j}[/mm]


Jetzt nutze aus: x [mm]\notin M_J[/mm] oder y [mm]\notin M_J.[/mm]

Dann bist Du fertig.

FRED






Da x [mm] \not\in M_{J} [/mm] und y [mm] \not\in M_{J}, [/mm] folgt :

[mm] a^{(j)}^{T}x \not= b_{j} [/mm] und [mm] a^{(j)}^{T}y \not= b_{j} [/mm]

[mm] \Rightarrow \lambda a^{(j)}^{T}x [/mm] + (1- [mm] \lambda)a^{(j)}^{T}y \not= b_{j} [/mm]

[mm] \Rightarrow a^{(j)}^{T}z \not= b_{j} [/mm]  und dies ist ein Widerspruch

Habe ich deinen Tipp so richtig umgesetzt?

MfG, mathstu

Bezug
                        
Bezug
Randfläche von Polyeder: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:42 Mi 09.12.2015
Autor: fred97


> >  Da x,y [mm]\in[/mm] X gilt: Ax [mm]\ge[/mm] b und Ay

> > [mm]\ge[/mm] b.
>   >  Da (x,y) [mm]\cap M_{J} \not= \emptyset \Rightarrow \exists[/mm]
> z
> > [mm]\in[/mm] (x,y) [mm]\cap M_{J}[/mm] mit [mm]a^{(j)}^{T}[/mm] z = [mm]b_{j},[/mm] j [mm]\in[/mm] J und
> > z = [mm]\lambda[/mm] x + (1- [mm]\lambda)[/mm] y mit [mm]\lambda \in[/mm] ]0,1[, da
> > die Punkte x und y in (x,y) nicht enthalten sind.
>   >  
> > Wir ersetzen z jetzt durch [mm]\lambda[/mm] x + (1- [mm]\lambda)[/mm] y in
> > [mm]a^{(j)}^{T}[/mm] z = [mm]b_{j}:[/mm]
>   >  
> > Dann gilt:
> > [mm]a^{(j)}^{T}z[/mm]
> > = [mm]a^{(j)}^{T}(\lambda[/mm] x + (1- [mm]\lambda)[/mm] y)
>   >  = [mm]\lambda a^{(j)}^{T}x[/mm] + (1- [mm]\lambda)a^{(j)}^{T}y[/mm]
>   >  = [mm]b_{j}[/mm]
>  
>
> Jetzt nutze aus: x [mm]\notin M_J[/mm] oder y [mm]\notin M_J.[/mm]
>  
> Dann bist Du fertig.
>  
> FRED
>  
>
>
>
>
>
> Da x [mm]\not\in M_{J}[/mm] und y [mm]\not\in M_{J},[/mm] folgt :

Nein. Nochmal:  x [mm]\not\in M_{J}[/mm] oder(!) y [mm]\not\in M_{J},[/mm]


>  
> [mm]a^{(j)}^{T}x \not= b_{j}[/mm] und [mm]a^{(j)}^{T}y \not= b_{j}[/mm]
>  
> [mm]\Rightarrow \lambda a^{(j)}^{T}x[/mm] + (1- [mm]\lambda)a^{(j)}^{T}y \not= b_{j}[/mm]

Hä ? Nehmen wir an: x [mm] \notin M_J. [/mm] Dann

   [mm] a^{(j)}^{T}x [/mm]   blablablubber  [mm] b_{j} [/mm]

Was muss für blablablubber hinein ?

FRED

>  
> [mm]\Rightarrow a^{(j)}^{T}z \not= b_{j}[/mm]  und dies ist ein
> Widerspruch
>  
> Habe ich deinen Tipp so richtig umgesetzt?
>  
> MfG, mathstu


Bezug
                                
Bezug
Randfläche von Polyeder: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:35 Mi 09.12.2015
Autor: mathstu


> Nein. Nochmal:  x [mm]\not\in M_{J}[/mm] oder(!) y [mm]\not\in M_{J},[/mm]
>
>
> >  

> > [mm]a^{(j)}^{T}x \not= b_{j}[/mm] und [mm]a^{(j)}^{T}y \not= b_{j}[/mm]
>  >  
> > [mm]\Rightarrow \lambda a^{(j)}^{T}x[/mm] + (1- [mm]\lambda)a^{(j)}^{T}y \not= b_{j}[/mm]
>  
> Hä ? Nehmen wir an: x [mm]\notin M_J.[/mm] Dann
>  
> [mm]a^{(j)}^{T}x[/mm]   blablablubber  [mm]b_{j}[/mm]
>  
> Was muss für blablablubber hinein ?
>  
> FRED

Wenn wir OE annehmen, dass [mm] x\not\in M_{J} [/mm] dann gilt:
[mm] a^{(j)}^{T}x\not= b_{j} [/mm]
Und damit will ich nun einen Widerspruch herbeiführen.

Folgt daraus auch schon, dass
[mm] \lambda*a^{(j)}^{T}\not= b_{j} [/mm] ?

Und wenn ja, muss ich das dann in meine Gleichung einsetzen un zu zeigen, dass [mm] a^{(j)}^{T}z\not= b_{j} [/mm] ?

Bezug
                                        
Bezug
Randfläche von Polyeder: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:37 Mi 09.12.2015
Autor: fred97


>  
> > Nein. Nochmal:  x [mm]\not\in M_{J}[/mm] oder(!) y [mm]\not\in M_{J},[/mm]
> >
> >
> > >  

> > > [mm]a^{(j)}^{T}x \not= b_{j}[/mm] und [mm]a^{(j)}^{T}y \not= b_{j}[/mm]
>  
> >  >  

> > > [mm]\Rightarrow \lambda a^{(j)}^{T}x[/mm] + (1- [mm]\lambda)a^{(j)}^{T}y \not= b_{j}[/mm]
>  
> >  

> > Hä ? Nehmen wir an: x [mm]\notin M_J.[/mm] Dann
>  >  
> > [mm]a^{(j)}^{T}x[/mm]   blablablubber  [mm]b_{j}[/mm]
>  >  
> > Was muss für blablablubber hinein ?
>  >  
> > FRED
>  
> Wenn wir OE annehmen, dass [mm]x\not\in M_{J}[/mm] dann gilt:
>  [mm]a^{(j)}^{T}x\not= b_{j}[/mm]

Ja, das stimmt schon, aber wir wissen mehr !

Es ist x [mm] \in [/mm] X, also Ax [mm] \ge [/mm] b. Das bedeutet

   [mm] a^{(j)}^{T}x \ge b_{j} [/mm]  für alle j

Ist x [mm] \notin M_J, [/mm] so gilt sogar

  [mm] a^{(j)}^{T} [/mm] > [mm] b_{j} [/mm]  für alle j [mm] \in [/mm] J.

FRED

    

>  Und damit will ich nun einen
> Widerspruch herbeiführen.
>  
> Folgt daraus auch schon, dass
>  [mm]\lambda*a^{(j)}^{T}\not= b_{j}[/mm] ?
>  
> Und wenn ja, muss ich das dann in meine Gleichung einsetzen
> un zu zeigen, dass [mm]a^{(j)}^{T}z\not= b_{j}[/mm] ?


Bezug
                                                
Bezug
Randfläche von Polyeder: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:30 Mi 09.12.2015
Autor: mathstu

Vielen Dank, ich habe den Beweis mit dem Widerspruch hingekriegt.
MfG, mathstu

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