Randwertproblem mit Operator < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei G: [mm] [0,\pi] [/mm] x [mm] [0,\pi] \to \R [/mm] deinfiert durch:
G(x,y) := [mm] \begin{cases} sin(\bruch{1}{2} (x-\pi))sin(\bruch{1}{2}y), & \mbox{für } x >y \\ sin(\bruch{1}{2} (y-\pi))sin(\bruch{1}{2}x), & \mbox{für } x \le y \end{cases}
[/mm]
Weiter definiere:
T: [mm] L^{2}([0,\pi]) \to L^{2}([0,\pi]) [/mm] , u [mm] \mapsto [/mm] (Tf)(x) := [mm] 2\integral_{0}^{\pi}{G(x,y)f(y) dy}
[/mm]
Sei nun f: [mm] [0,\pi] \to \R [/mm] stetig.
Zeige, dass Gf das folgende Randwertproblem löst:
[mm] \begin{cases} u''(x)+\bruch{1}{4}u'(x)=f(x), x\in(0,\pi) \\ u(0) = u(\pi)=0 \end{cases} [/mm] |
Leider habe ich zu dieser Aufgabe noch gar keinen Ansatz, da Differentialgleichungen bei mir schon etwas her sind.
Mir würde zu dieser Aufgabe zunächst auch erstmal der formale Ansatz helfen.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
> Sei G: [mm][0,\pi][/mm] x [mm][0,\pi] \to \R[/mm] deinfiert durch:
> G(x,y) := [mm]\begin{cases} sin(\bruch{1}{2} (x-\pi))sin(\bruch{1}{2}y), & \mbox{für } x >y \\ sin(\bruch{1}{2} (y-\pi))sin(\bruch{1}{2}x), & \mbox{für } x \le y \end{cases}[/mm]
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> Weiter definiere:
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> T: [mm]L^{2}([0,\pi]) \to L^{2}([0,\pi])[/mm] , u [mm]\mapsto[/mm] (Tf)(x)
> := [mm]2\integral_{0}^{\pi}{G(x,y)f(y) dy}[/mm]
>
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> Sei nun f: [mm][0,\pi] \to \R[/mm] stetig.
> Zeige, dass Gf das folgende Randwertproblem löst:
du meinst Tf, oder?
>
> [mm]\begin{cases} u''(x)+\bruch{1}{4}u'(x)=f(x), x\in(0,\pi) \\ u(0) = u(\pi)=0 \end{cases}[/mm]
ist eigentlich ganz einfach, du musst nur einsetzen! Tf ist ein parameter-integral. ableiten tut man das durch ziehen der ableitung in den integranden. Was evtl. ein wenig tricky wird, sind die fallunterscheidungen fuer G. aber versuch erstmal dein glueck!
gruss
matthias
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> Leider habe ich zu dieser Aufgabe noch gar keinen Ansatz,
> da Differentialgleichungen bei mir schon etwas her sind.
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> Mir würde zu dieser Aufgabe zunächst auch erstmal der
> formale Ansatz helfen.
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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Hmm. Einsetzen ist gut! 
Ich habe jetzt mal ein bissel rumprobiert und komme immer wieder zu großem Murks.
Das ist zwar eigentlich Grundstoff, aber ich zerbrech mir hier noch den Kopf.
Ich habe jetzt: folgendes Eingesetzt:
[mm] (2\integral_{0}^{\pi}{G(x,y)f(y) dy} [/mm] )'' + [mm] \bruch{1}{4} (2\integral_{0}^{\pi}{G(x,y)f(y) dy} [/mm] )' =f(x)
jetzt aber mal ganz doof:
wie löst man die Ableitungen in diesem Fall richtig auf:
ich habe jetzt angefangen und [mm] (2\integral_{0}^{\pi}{G(x,y)f(y) dy} [/mm] )' versucht abzuleiten.
Da komm ich dann ja auf
2 (-G(x,0)f(0) * 0 + [mm] G(x,\pi)f(\pi) [/mm] * 1 + [mm] \integral_{0}^{\pi}{G_{x}(x,y)f(y) dy} [/mm] )
oder ist das schonmal falsch?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 Sa 24.05.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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