Rang einer Matrix < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hi,
was kann man mit dem Rang einer Matrix alles aussagen?
$A:= [mm] \pmat{ a & b & c & d \\ e & f & g & h \\ i & j & k & l \\ m & n & o & p }\ Mat(A)_{(4, 4)} \in \IR$
[/mm]
Ich werde alles auf diese Matrix beziehen:
Wenn der Rang(A)=4 ist, dann ist die Matrix:
- Invertierbar
- Die 4 Spaltenvektoren sind linear unabhängig
- Die Matrix spannt den gestammten [mm] $\IR^4$ [/mm] auf
Allgemein:
Wenn der Rang(A)="Anzahl der Spalten" ist, dann ist die Matrix:
- Invertierbar
- Alle Spaltenvektoren sind linear Unabhängig
- Die Matrix spannt den gestammten [mm] $\IR^{Spaltenzahl}$ [/mm] auf
Gibt es noch mehr Dinge, die ich am Rang ablesen kann oder ersehen kann?
Danke!
Gruß Thomas
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> Hi,
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> was kann man mit dem Rang einer Matrix alles aussagen?
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> [mm]A:= \pmat{ a & b & c & d \\ e & f & g & h \\ i & j & k & l \\ m & n & o & p }\ Mat(A)_{(4, 4)} \in \IR[/mm]
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> Ich werde alles auf diese Matrix beziehen:
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> Wenn der Rang(A)=4 ist, dann ist die Matrix:
> - Invertierbar
> - Die 4 Spaltenvektoren sind linear unabhängig
> - Die Matrix spannt den gestammten [mm]\IR^4[/mm] auf
>
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> Allgemein:
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> Wenn der Rang(A)="Anzahl der Spalten" ist, dann ist die
> Matrix:
> - Invertierbar
> - Alle Spaltenvektoren sind linear Unabhängig
> - Die Matrix spannt den gestammten [mm]\IR^{Spaltenzahl}[/mm] auf
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> Gibt es noch mehr Dinge, die ich am Rang ablesen kann oder
> ersehen kann?
Hallo,
Du betrachtest oben lediglich quadratische Matrizen.
Aber auch für rechteckige Matrizen kannst Du am Rang einiges sehen:
Rang = Dimension des Bildes
Rang=Spaltenanzahl: injektiv
Rang=Zeilenanzahl: surjektiv.
Gruß v. Angela
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Hallo,
worüber Du Dich auch noch schlau machen solltest, das ist, was man aus dem Rang der Matrix (erweiterten Matrix) über die Lösbarkeit des zugehörigen homogenen (inhomogenen) Gleichungssystems ablesen kann.
(Natürlich ist das nicht ganz unabhängig von den zuvor festgestelleten Tatsachen, aber vielleicht doch nützlich, es sich zunächst separat zu merken - gerade, wenn Mathe das Problemfach ist.)
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:15 Di 13.02.2007 | | Autor: | svenchen |
Hallo,
Angela zu deinem letzten Beitrag suche ich schon seit 2 Stunden, weil ich genau das wissen muss.
kannst du mir sagen wo ich das nachlesen kann oder es mir evtl selbst sagen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:38 Di 13.02.2007 | | Autor: | Herby |
Hallo svenchen,
das ist schnell hingeschrieben,
![[aufgemerkt]](/images/smileys/aufgemerkt.gif "[aufgemerkt]") ein lineares (m,n)-Gleichungssystem Ax=c ist genau dann lösbar, wenn der Rang der Matrix mit dem der erweiterten Matrix übereinstimmt.
Rang(A)=Rang(A|c)=r
für r=n gibt es genau eine Lösung
für r<n unendlich viele
ok?
Liebe Grüße
Herby
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:41 Di 13.02.2007 | | Autor: | svenchen |
das eben sollte ein Frageartikel sein ^^
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:39 Di 13.02.2007 | | Autor: | svenchen |
Danke für die schnelle Antwort.
Hab parallel dazu auch geschrieben:
ich hab z.b. das lgs
x - y + z = 2
x - 4y - z = u
2x + ly + z = 1
Dann schreiben wir:
Lösung entspricht dem Lösen von Ax= b
mit
A = [mm] \pmat{ 1 & -1 & 1 \\ 1 & -4 & -1 \\ 2 & l &1}
[/mm]
und b = [mm] \vektor{2 \\ u \\1}
[/mm]
haben aufgeslellt
1 -1 1 2
1 -4 -1 u
2 l 1 1
und umgefromt auf
[mm] \vmat{ 1 & -1 & 1 &2 \\ 0& -3& -2&u -2 \\0&0&
\bruch{2l}{3}- \bruch{7}{3} & -3+(u -2)*\bruch{l + 2}{3} }
[/mm]
[mm] \bruch{l + 2}{3}- \bruch{7}{3}
[/mm]
soweit klar
dann verstehe ich nicht:
1. Fall
- 2l / 3 - 7/3 ungleich 0
ok wenn es ungleich 0 ist, ist der Rang 3. Aber wieso ist dann gerade
rg(A) = rg(A,B)
das hier ist doch rg (A,B) oder?
woher kennt man rg(A) ?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:12 Di 13.02.2007 | | Autor: | Herby |
Hallo,
und sorry, aber mit zwei Parametern, kann man, glaube ich ![[keineahnung]](/images/smileys/keineahnung.gif "[keineahnung]") gar kein eindeutiges Lösungsverhalten angeben.
Der Rang(A)=3 wenn [mm] l\not=-3,5 [/mm] (das bekommst du mit der Determinante von A) heraus.
Wie sich das mit dem u verhält, weiß ich nicht - tut mir leid....
Liebe Grüße
Herby
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:20 Di 13.02.2007 | | Autor: | svenchen |
Danke dennoch...
Woher kenn ich denn den Rang von A ? Wir haben einfach gesagt er is gleich 3, ohne Rechnung. Kann man das im Kopf machen, weil keine Zeile eine Vielfache einer anderen ist (keine Zeile so ohne weiteres wegzubringen ist ) oder wie kommt man da so schnell drauf?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:34 Di 13.02.2007 | | Autor: | Herby |
Hi,
na das kann ich wieder beantworten ![[grins]](/images/smileys/grins.gif "[grins]")
eine quadratische Matrix hat den vollen Rang, wenn die [mm] Determinate\not=0 [/mm] ist.
Bei einer dreireihigen Matrix kann man das gerade noch so im Kopf lösen.
Auf jeden Fall steht bei dir am Schluss: det(A)=2A+7 ---> damit sie vollen Rang hat darf 2A+7 nicht Null werden oder anders herum A darf alles andere sein außer -3,5.
Das mit dem: "ich sehe das einer Matrix an" oder "das ist so" vergessen wir besser mal wieder, denn Zeilen und Spalten können auch durch eine Linearkombination voneinander abhängig sein und da erkennst du garnix (es hört wahrscheinlich spätestens bei Brüchen auf).
Liebe Grüße
Herby
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:30 Di 13.02.2007 | | Autor: | svenchen |
danke.
Ich kapiere das insgesamt noch nicht.
Zu dem Bsp von eben schreiben wir:
1. Fall
(-2 l / 3) - (7 /3) ungleich 0
rg (A) = 3 = rg(A,B)
Lgs eindeutig lösbar
2. Fall
(-2 l / 3) - (7 /3) = 0 und -3 + (u -2)* (l +2)/3 = 0
rg (A) = 2 = rg (A,b)
n - rg (A) = 3 - 2 = 1 Lgs hat nur 1 freien Parameter
3. Fall
l = - 7/2 und u ungleich -4
rg (A) = 2 ungleich 3 = rd (A,b)
nicht lösbar
wie kommt man auf die Unterscheidungen, was hat es mit dem Rang auf sich ?
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Hallo,
ich mache Dir jetzt ein paar Beispiele.
1. [mm] (A|b)=\pmat{ 1 & 2 & 3 & |7\\ 0 & 4 & 5 & |8\\ 0&0&6 &|9}
[/mm]
Hier ist der Rang von A gleich dem Rang von A|b.
Also hat das GS eine Lösung.
Es hat sogar nur genau eine Lösung, denn Rang A = Anzahl der Variablen (also =3).
[mm] 2.(A|b)=\pmat{ 1 & 2 & 3 & |7\\ 0 & 4 & 5 & |8\\ 0&0&0 &|0}
[/mm]
Hier ist der Rang von A gleich dem Rang von A|b.
Also hat das GS eine Lösung.
Es gibt mehr als eine Lösung, denn der Rang ist geringer (=2) als die Anzahl der Variablen (=3).
Die Dimension des affinen Lösungsraumes ist =3-2=1.
[mm] 3.(A|b)=\pmat{ 1 & 2 & 3 & |7\\ 0 & 0 & 0 & |0\\ 0&0&0 &|0}
[/mm]
Hier ist der Rang von A gleich dem Rang von A|b.
Also hat das GS eine Lösung.
Die Dimension des affinen Lösungsraumes ist =3-1=2
4. [mm] (A|b)=\pmat{ 1 & 2 & 3 & |7\\ 0 & 4 & 5 & |8\\ 0&0&0 &|9}
[/mm]
Hier ist der Rang von A (=2) ungleich dem Rang von A|b (=3).
Also hat das GS keine Lösung.
5. [mm] (A|b)=\pmat{ 1 & 2 & 3 & |7\\ 0 & 0 & 0 & |8\\ 0&0&0 &|0}
[/mm]
Hier ist der Rang von A (=1) ungleich dem Rang von A|b (=2).
Also hat das GS keine Lösung.
Hieraus läuft das mit Deinen l und u hinaus.
Du sollst schauen, welche Situationen Du für welche Wahl von l und u erhältst.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:09 Di 13.02.2007 | | Autor: | svenchen |
Angela, vielen lieben Dank!
Schöne Beschreibung, DANKE
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