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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:30 Di 25.01.2011 | | Autor: | melisa1 |
| Aufgabe | Seien [mm] \IK [/mm] ein Körper und [mm] A\in M_{m,n}(\IK).
[/mm]
Zeigen Sie, das rank A=1 [mm] \gdw A=x*y^T [/mm] wobei x [mm] \in \IK^m [/mm] /{0} und [mm] y\in \IK^n [/mm] \ {0} sind zwei Vektoren. |
Hallo,
ich weiß nicht, ob ich die Aufgabe richtig verstanden habe.
Es sind doch zwei Richtungen zu beweisen oder?
(i) rankA=1 [mm] \rightorrow A=x*y^T
[/mm]
(ii) [mm] A=x*y^T \rightorrow [/mm] rankA=1
Ok zum Beispiel hab ich die Matrix [mm] \vmat{ 1 & 2 & 3\\ 2 & 4 & 6\\3 &6 &9} [/mm] mit rank=1
aber was ist jetzt genau mit x und [mm] y^T [/mm] gemeint. Ist [mm] y^T [/mm] die transponierte von x? Also x ist ein Zeilenvektor und [mm] y^T [/mm] die transponierte davon, d.h. ein Spaltenvektor?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:54 Di 25.01.2011 | | Autor: | skoopa |
HeyHey!
> Seien [mm]\IK[/mm] ein Körper und [mm]A\in M_{m,n}(\IK).[/mm]
>
> Zeigen Sie, das rank A=1 [mm]\gdw A=x*y^T[/mm] wobei x [mm]\in \IK^m[/mm]
> /{0} und [mm]y\in \IK^n[/mm] \ {0} sind zwei Vektoren.
> Hallo,
>
>
> ich weiß nicht, ob ich die Aufgabe richtig verstanden
> habe.
>
> Es sind doch zwei Richtungen zu beweisen oder?
>
> (i) rankA=1 [mm]\Rightarrow A=x*y^T[/mm]
>
> (ii) [mm]A=x*y^T \Rightarrow[/mm] rankA=1
>
Genau das ist zu zeigen, da es sich um eine Äquivalenz handelt.
>
> Ok zum Beispiel hab ich die Matrix [mm]\vmat{ 1 & 2 & 3\\ 2 & 4 & 6\\3 &6 &9}[/mm]
> mit rank=1
>
> aber was ist jetzt genau mit x und [mm]y^T[/mm] gemeint. Ist [mm]y^T[/mm] die
> transponierte von x? Also x ist ein Zeilenvektor und [mm]y^T[/mm]
> die transponierte davon, d.h. ein Spaltenvektor?
Nein das stimmt nicht. x und y haben nichts direkt miteinander zu tun. [mm] y^T [/mm] ist auch nicht zwingend die Transponierte von x sein, da ja x ein m-dimensionaler Vektor ist und y ein n-dimenionaler. Also passen für [mm] m\not=n [/mm] nicht mal die Dimensionen überein.
[mm] A=x*y^T [/mm] ist das sogenannte dyadische Produkt von x und y.
Also ist [mm] A=x*y^T=\vektor{x_{1}\\ \vdots \\x_{m}}*(y_{1}\ y_{2}\ \cdot\cdot\cdot\ y_{n})=\pmat{x_{1}y_{1} & x_{1}y_{2}& ... & x_{1}y_{n}\\ x_{2}y_{1} & x_{2}y_{2}& ... &x_{2}y_{n}\\ \vdots & \ddots &\ddots & \vdots \\ x_{m}y_{1} & \ldots & \ldots & x_{m}y_{n} }.
[/mm]
Hier kannst du noch mehr darüber nachlesen, falls du willst:
http://de.wikipedia.org/wiki/Dyadisches_Produkt
Hoffe es hilft.
Grüße!
skoopa
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:01 Di 25.01.2011 | | Autor: | pelzig |
Ist [mm]\operatorname{rk}A=1[/mm], so gibt ein [mm]i\in\{1,...,n\}[/mm] sodass [mm]x:=Ae_i\ne 0[/mm] (warum?). Dann gibt es für jedes [mm]j=1,...,n[/mm] eine [mm]\lambda_j\in\IK[/mm] mit [mm]Ae_j=\lambda_j x[/mm] (warum?) und somit
[mm]A=x\cdot\pmat{\lambda_1&\dots&\lambda_n}[/mm]
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:58 Mi 26.01.2011 | | Autor: | melisa1 |
Hallo,
danke erstmal für eure Antwort.
Mir ist es jedoch noch nicht ganz klar...
> Ist [mm]\operatorname{rk}A=1[/mm], so gibt ein [mm]i\in\{1,...,n\}[/mm]
> sodass [mm]x:=Ae_i\ne 0[/mm] (warum?).
Heißt das, dass wenn rank=1 ist, darf es keine Nullzeile geben?
Lg Melisa
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:11 Mi 26.01.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
> danke erstmal für eure Antwort.
>
> Mir ist es jedoch noch nicht ganz klar...
>
> > Ist [mm]\operatorname{rk}A=1[/mm], so gibt ein [mm]i\in\{1,...,n\}[/mm]
> > sodass [mm]x:=Ae_i\ne 0[/mm] (warum?).
>
>
> Heißt das, dass wenn rank=1 ist, darf es keine Nullzeile
> geben?
Nein. Mit [mm] e_i [/mm] hat Robert den i -ten Einheitsvektor aus [mm] \IK^n [/mm] gemeint.
Wäre [mm]Ae_i = 0[/mm] für i=1,...,n, so wäre A die Nullmatrix !
FRED
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>
> Lg Melisa
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:23 Mi 26.01.2011 | | Autor: | melisa1 |
ok d.h. dass das nicht 0 sein, weil es sonst die Nullmatrix ist und die hat den Rang 0 und das wäre ein Widerspruch.
Ich versteh jetzt jedoch nicht, warum damit die (i) schon gezeigt ist oder ist es noch gar nicht gezeigt :-S
Lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:14 Mi 26.01.2011 | | Autor: | pelzig |
Was ich geschrieben habe ist die Implikation [mm] $(i)\Rightarrow [/mm] (ii)$. Die andere Richtung musst du auch noch zeigen!
Gruß, Robert
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:14 Do 27.01.2011 | | Autor: | melisa1 |
ok danke!
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