Rechnen mit komplexen Zahlen < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:34 Sa 08.12.2007 | | Autor: | gandhi8 |
| Aufgabe | z Berechnen:
[mm] z^2 [/mm] + 2z +1 +8i=0 |
Hallo,
komme bei der Gleichung nicht weiter:
so weit bin ich gekommen.
[mm] z^2 [/mm] + 2z +1 +8i=0
[mm] (z+1)^2 [/mm] + 8i=0
[mm] (z+1)^2=-8i
[/mm]
[mm] z+1=\pm \wurzel{-8i}
[/mm]
[mm] z=-1\pm \wurzel{-8i}
[/mm]
wie rechnet man weiter?
Danke
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> z Berechnen:
> [mm]z^2[/mm] + 2z +1 +8i=0
> Hallo,
> komme bei der Gleichung nicht weiter:
> so weit bin ich gekommen.
>
> [mm]z^2[/mm] + 2z +1 +8i=0
> [mm](z+1)^2[/mm] + 8i=0
> [mm](z+1)^2=-8i[/mm]
> [mm]z+1=\pm \wurzel{-8i}[/mm]
> [mm]z=-1\pm \wurzel{-8i}[/mm]
>
> wie rechnet man weiter?
Zum Beispiel so: wegen
[mm]\begin{array}{rcll}
\sqrt{-8\mathrm{i}} &=& \left(8\cdot\mathrm{e}^{\mathrm{i}\tfrac{3}{2}\pi+2n\pi}\right)^{1/2} &\text{wobei $n\in \IZ$}\\
&=& \sqrt{8}\cdot\mathrm{e}^{\mathrm{i}\left(\tfrac{3}{4}+n\right)\pi}\\
&=& 2\sqrt{2}\left(-\tfrac{\sqrt{2}}{2}+\tfrac{\sqrt{2}}{2}\mathrm{i}\right)\cdot\blue{\mathrm{e}^{\mathrm{i}n\pi}}\\
&=& \blue{\pm} (-2+2\mathrm{i})
\end{array}[/mm]
ist
[mm]z_{1,2}=-1\pm (-2+2\mathrm{i})=\begin{cases}-3+2\mathrm{i}\\\phantom{-}1-2\mathrm{i}\end{cases}[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:45 So 09.12.2007 | | Autor: | gandhi8 |
> > z Berechnen:
> > [mm]z^2[/mm] + 2z +1 +8i=0
> > Hallo,
> > komme bei der Gleichung nicht weiter:
> > so weit bin ich gekommen.
> >
> > [mm]z^2[/mm] + 2z +1 +8i=0
> > [mm](z+1)^2[/mm] + 8i=0
> > [mm](z+1)^2=-8i[/mm]
> > [mm]z+1=\pm \wurzel{-8i}[/mm]
> > [mm]z=-1\pm \wurzel{-8i}[/mm]
> >
> > wie rechnet man weiter?
>
> Zum Beispiel so: wegen
>
> [mm]\begin{array}{rcll}
\sqrt{-8\mathrm{i}} &=& \left(8\cdot\mathrm{e}^{\mathrm{i}\tfrac{3}{2}\pi+2n\pi}\right)^{1/2} &\text{wobei $n\in \IZ$}\\
&=& \sqrt{8}\cdot\mathrm{e}^{\mathrm{i}\left(\tfrac{3}{4}+n\right)\pi}\\
&=& 2\sqrt{2}\left(-\tfrac{\sqrt{2}}{2}+\tfrac{\sqrt{2}}{2}\mathrm{i}\right)\cdot\blue{\mathrm{e}^{\mathrm{i}n\pi}}\\
&=& \blue{\pm} (-2+2\mathrm{i})
\end{array}[/mm]
>
> ist
>
> [mm]z_{1,2}=-1\pm (-2+2\mathrm{i})=\begin{cases}-3+2\mathrm{i}\\\phantom{-}1-2\mathrm{i}\end{cases}[/mm]
hallo
dein erbebniss stimmt, nur verstehe ich dein vorgehen nicht. wie bist du
darauf gegkommen?
wie kommst du auf [mm] e^{i\bruch{3}{2}\pi}.
[/mm]
Und den zweiten Schritt verstehe ich auch nicht so ganz.
Danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:50 Mo 10.12.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo gandhi!
Angela hat hier die komplexe Zahl $z \ = \ -8*i \ = \ 0+(-8)*i$ in die Exponentialschreibweise $z \ = \ [mm] r*e^{i*\varphi} [/mm] \ = \ [mm] |z|*e^{i*\varphi}$ [/mm] umgewandelt.
Anschließend hat sie die Moivre-Formel (siehe ![[]](/images/popup.gif) hier) verwendet, um [mm] $\wurzel{-8*i}$ [/mm] zu berechnen.
Für die Umwandlung gilt hier:
$$r \ = \ |z| \ = \ [mm] \wurzel{0^2+(-8)^2} [/mm] \ = \ 8$$
[mm] $$\tan(\varphi) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{-8}{0}$$
[/mm]
Aus der Anschauung der Gauß'schen Zahlenebene erhält man dann den Winkel zu [mm] $\varphi [/mm] \ = \ 270° \ [mm] \hat= [/mm] \ [mm] \bruch{3}{2}*\pi$ [/mm] .
Gruß
Loddar
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> z Berechnen:
> [mm]z^2[/mm] + 2z +1 +8i=0
Hallo,
eine "hausbackene Alternative" zur Exponentialfunktion, falls Ihr das womöglich noch gar nicht hattet:
Du weißt ja, daß Du z schreiben kannst als x+iy mit [mm] x,y\in \IR.
[/mm]
Einsetzen und x,y ausrechnen.
Gruß v. Angela
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