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| Aufgabe | Sei G eine Gruppe und H eine Untergruppe. Auf G defeniert man zwei Relationen ~_r und ~_l durch
a~_r b <=> [mm] ab^{-1} \in [/mm] H
a~_l b <=> [mm] a^{-1}b \in [/mm] H
Die Äquivalenzklasse von a [mm] \in [/mm] G bez ~_r (bzw. bez ~_l) ist die folgende menge Ha = [mm] \{ ha | h \in H \} [/mm] (bzw aH [mm] =\{ah|h \in H \}
[/mm]
Die eigentliche Aufgabe:
Für a,b [mm] \in [/mm] G
[mm] H_a [/mm] = [mm] H_b [/mm] <=> [mm] ab^{-1} \in [/mm] H und
aH = bH <=> [mm] a^{-1} [/mm] b [mm] \in [/mm] H |
Hallo,
Ich weiß nicht wie man diese aussage beweist.
Wir haben in der Vorlesung eine kurze zeile dazugeschrieben, die hilft mir aber leider nicht, da ich sie nicht verstehe.
[mm] H_a [/mm] = [mm] H_b [/mm] <=> a [mm] \in H_b [/mm] <=> a [mm] b^{-1} [/mm] H
Würd mich freuen, wenn mir das wer erklären könnte.
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:32 Mo 15.10.2012 | | Autor: | pits |
> [mm]H_a[/mm] = [mm]H_b[/mm] <=> a [mm]\in H_b[/mm] <=> a [mm]b^{-1}[/mm] H
>
> Würd mich freuen, wenn mir das wer erklären könnte.
Ich verstehe das so: Die beiden Äquivalenzklassen [mm] $H_a$ [/mm] und [mm] $H_b$ [/mm] sind genau dann gleich, wenn $a [mm] \in H_b$ [/mm] (bzw $b [mm] \in H_a$). [/mm] Das ist ja genau der sinn einer Äquivalenzklasse, die beiden Elemente a und b sind äquivalent, wenn sie in der gleichen Äquivalenzklasse sind. Genau dann wenn $a [mm] \in H_b$, [/mm] sind a und b äquivalent, also $a [mm] \sim\_r\, [/mm] b$ und das gilt genau dann, wenn $ab^-1 [mm] \in [/mm] H$.
Damit sollte diese Notiz erläutert sein und dir bei der Aufgabe helfen.
Gruß
pits
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> Sei G eine Gruppe und H eine Untergruppe. Auf G defeniert
> man zwei Relationen ~_r und ~_l durch
> a~_r b <=> [mm]ab^{-1} \in[/mm] H
> a~_l b <=> [mm]a^{-1}b \in[/mm] H
> Die Äquivalenzklasse von a [mm]\in[/mm] G bez ~_r (bzw. bez ~_l)
> ist die folgende menge Ha = [mm]\{ ha | h \in H \}[/mm] (bzw aH
> [mm]=\{ah|h \in H \}[/mm]
>
> Die eigentliche Aufgabe:
> Für a,b [mm]\in[/mm] G
> [mm]H_a[/mm] = [mm]H_b[/mm] <=> [mm]ab^{-1} \in[/mm] H und
> aH = bH <=> [mm]a^{-1}[/mm] b [mm]\in[/mm] H
> Hallo,
> Ich weiß nicht wie man diese aussage beweist.
> Wir haben in der Vorlesung eine kurze zeile
> dazugeschrieben, die hilft mir aber leider nicht, da ich
> sie nicht verstehe.
>
> [mm]H_a[/mm] = [mm]H_b[/mm] <=> a [mm]\in H_b[/mm] <=> a [mm]b^{-1}[/mm] H
>
> Würd mich freuen, wenn mir das wer erklären könnte.
> LG
Da H eine Untergruppe ist, enthält H das neutrale Element e. Deshalb ist a=a*e=e*a in aH und in Ha, aus dem selben Grund b in Hb und in bH.
Wenn Ha=Hb ist, ist somit auch a in Hb, da ja a in Ha ist, wie oben gezeigt. Da Hb nur aus allen Produkten von b mit den [mm] h\in [/mm] H besteht, gibt es somit ein bestimmtes h mit a=hb.
Nun sind aber a und b Elemente aus G, also invertierbar. Deshalb kannst du von rechts mit [mm] b^{-1} [/mm] multiplizieren und erhältst [mm] ab^{-1}=h. [/mm] Da h aus H war, ist [mm] ab^{-1} [/mm] = h ebenfalls aus H.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:33 Mo 15.10.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo theresetom,
> Sei G eine Gruppe und H eine Untergruppe. Auf G defeniert
> man zwei Relationen ~_r und ~_l durch
> a~_r b <=> [mm]ab^{-1} \in[/mm] H
> a~_l b <=> [mm]a^{-1}b \in[/mm] H
> Die Äquivalenzklasse von a [mm]\in[/mm] G bez ~_r (bzw. bez ~_l)
> ist die folgende menge Ha = [mm]\{ ha | h \in H \}[/mm] (bzw aH
> [mm]=\{ah|h \in H \}[/mm]
>
> Die eigentliche Aufgabe:
> Für a,b [mm]\in[/mm] G
> [mm]H_a[/mm] = [mm]H_b[/mm] <=> [mm]ab^{-1} \in[/mm] H und
> aH = bH <=> [mm]a^{-1}[/mm] b [mm]\in[/mm] H
> Hallo,
> Ich weiß nicht wie man diese aussage beweist.
> Wir haben in der Vorlesung eine kurze zeile
> dazugeschrieben, die hilft mir aber leider nicht, da ich
> sie nicht verstehe.
>
> [mm]H_a[/mm] = [mm]H_b[/mm] <=> a [mm]\in H_b[/mm] <=> a [mm]b^{-1}[/mm] H
>
> Würd mich freuen, wenn mir das wer erklären könnte.
neben den ganzen Tipps:
Das hier ist eine ganz elementare Vorgehensweise. Man hat drei
Aussagen, [mm] $A\,,B,\,C$ [/mm] (dabei bedeute [mm] $A\,,$ [/mm] dass die Aussage [mm] $A\,$
[/mm]
wahr ist und etwa [mm] $\overline{A}$ [/mm] oder [mm] $\neg A\,,$ [/mm] dass [mm] $A\,$ [/mm] falsch ist:
Beispiel: [mm] $A\,$: [/mm] die Straße ist naß. Dann schreiben wir [mm] $A\,,$ [/mm] wenn die
Straße wirklich naß ist, und etwa [mm] $\overline{A}\,,$ [/mm] wenn die Straße nicht
naß ist!), und oben wird nun behauptet:
$$A [mm] \gdw [/mm] B [mm] \gdw C\,.$$
[/mm]
Das kann man nun so beweisen, indem man die Gültigkeit der vier
untenstehenden Folgerungen beweist:
1. $A [mm] \Rightarrow [/mm] B$
und
2. $B [mm] \Rightarrow [/mm] A$
und
3. $B [mm] \Rightarrow [/mm] C$
und
4. $C [mm] \Rightarrow [/mm] B$
oder man macht einen Ringschluß, zeigt also die folgenden 3 Folgerungen:
I) $A [mm] \Rightarrow [/mm] B$
und
II) $B [mm] \Rightarrow [/mm] C$
und
III) $C [mm] \Rightarrow A\,.$
[/mm]
Warum der (etwas kürzere) Ringschluß ebenso zeigt, dass alle
Äquivalenzen von oben gelten, kannst Du Dir mal selbst klarmachen.
Es ist nicht schwer...
Was ich damit sagen will: Wenn Dir
[mm] $$H_a [/mm] = [mm] H_b \gdw [/mm] a [mm] \in H_b \gdw ab^{-1} \in [/mm] H$$
unklar ist:
Dann schreib' Dir JEDE zu zeigende Folgerung hin und beweis' sie einzeln,
oder beweis dies per Ringschluss:
Bei letzterem ist also die Vorgehensweise etwa:
I) Folgere, dass, wenn [mm] $H_a=H_b$ [/mm] gilt, dann $a [mm] \in H_b$ [/mm] sein muss.
II) Folgere, dass, wenn wir voraussetzen, dass $a [mm] \in H_b$ [/mm] gilt, dann [mm] $ab^{-1} \in [/mm] H$ gelten muss.
III) Folgere, dass, wenn [mm] $ab^{-1} \in [/mm] H$ gilt, dann nur [mm] $H_a=H_b$ [/mm] sein
kann: Letzteres etwa, indem man dann sowohl [mm] $H_a \subseteq H_b$ [/mm] als auch [mm] $H_b \subseteq H_a$ [/mm] begründet.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:12 Sa 20.10.2012 | | Autor: | theresetom |
Danke ;)
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