Reelle Zahl a bestimmen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:10 Mo 03.05.2010 | | Autor: | jusdme |
| Aufgabe | Wie muss die reelle Zahl a gewählt werden, damit die Vektoren abhängig sind
[mm] \vektor{3 \\ 1 \\ a} \vektor{1 \\ 0 \\ 2} [/mm]
[mm] \vektor{a \\ 2 \\ 1} [/mm] |
Was ich weiß ist, dass ich zunächst einmal ein LGS aufstellen muss
(1) 3r + s + at = 0
(2) r + 2t = 0
(3) ar + 4s + t = 0
(1) + (3) * (-a)
3r + s + at = 0
a² - 4as - at = 0
___________________
(3r - a²r) + (s - 4as) = 0 --> r (3 - a²) + s (1 - 4a) = 0 (1')
(1) * (-2) + (2) * (a)
-6r - 2s - 2at = 0
ar + 2at = =
____________________-
(-6r - ra) - 2s = 0 --> r (-6 - a) - 2s = 0 (2')
[mm] \Rightarrow [/mm] s = -3r - 0,5a
s eingesetzt in (1'):
r (3 - a²) + (-3r - 0,5a) * (1 - 4a) = 0
3r - a²r + (-3r - 0,5a + 12ar + 2a²) = 0
a²r - 0,5a + 12ar = 0
a (a - 0,5 + 12r) = 0
und jetzt weiß ich nicht genau wie ich da weitermachen muss.
Dankee schon mal im Vorraus :)
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Hallo!
> Wie muss die reelle Zahl a gewählt werden, damit die
> Vektoren abhängig sind
> [mm]\vektor{3 \\ 1 \\ a} \vektor{1 \\ 0 \\ 2}[/mm]
> [mm]\vektor{a \\ 2 \\ 1}[/mm]
> Was ich weiß ist, dass ich zunächst
> einmal ein LGS aufstellen muss
>
> (1) 3r + s + at = 0
> (2) r + 2t = 0
> (3) ar + 4s + t = 0
>
> (1) + (3) * (-a)
> 3r + s + at = 0
> a² - 4as - at = 0
> ___________________
> (3r - a²r) + (s - 4as) = 0 --> r (3 - a²) + s (1 - 4a) =
> 0 (1')
>
> (1) * (-2) + (2) * (a)
> -6r - 2s - 2at = 0
> ar + 2at = =
> ____________________-
> (-6r - ra) - 2s = 0 --> r (-6 - a) - 2s = 0
> (2')
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] s = -3r - 0,5a
>
> s eingesetzt in (1'):
> r (3 - a²) + (-3r - 0,5a) * (1 - 4a) = 0
> 3r - a²r + (-3r - 0,5a + 12ar + 2a²) = 0
> a²r - 0,5a + 12ar = 0
> a (a - 0,5 + 12r) = 0
>
> und jetzt weiß ich nicht genau wie ich da weitermachen
> muss.
Ich möchte deinen Rechenweg nicht aufgreifen, weil es wesentlich einfacher geht, wenn man den Überblick mit einer erweiterten Koeffizientenmatrix behält (habt ihr das schon gehabt?).
Wir schreiben einfach die Vektoren in die Zeilen:
[mm] \pmat{3 & 1 & a & | & 0\\ 1 & 0 & 2& | & 0\\ a & 2 & 1 & | & 0}
[/mm]
[mm] \to \pmat{1 & 0 & 2 & | & 0\\ 3 & 1 & a& | & 0\\ a & 2 & 1 & | & 0}
[/mm]
Nun erste Zeile (-3)-mal auf die zweite; erste Zeile (-a) - mal auf die dritte:
[mm] \to \pmat{1 & 0 & 2 & | & 0\\ 0 & 1 & a-6& | & 0\\ 0 & 2 & 1-2*a & | & 0}
[/mm]
Nun zweite Zeile (-2) - mal auf die dritte:
[mm] \to \pmat{1 & 0 & 2 & | & 0\\ 0 & 1 & a-6& | & 0\\ 0 & 0 & 1-2*a -2*(a-6)& | & 0}
[/mm]
[mm] \to \pmat{1 & 0 & 2 & | & 0\\ 0 & 1 & a-6& | & 0\\ 0 & 0 & 13-4*a& | & 0}
[/mm]
Jetzt bist du dran!
Grüße,
Stefan
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