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| Aufgabe | Berechne den Wert der Reihe:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} ((-1)^n)/n²
[/mm]
a; exakt durch die Zurückführung auf die Reihe [mm] \summe_{n=1}^{\infty} [/mm] 1/n²= [mm] \pi²/6
[/mm]
b; näherungsweise auf 1/100 genau. Wie viele summanden müssen addiert werden?
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Also zu a;
Ich habe so angesetzt dass ich eine partialbruchzelegung gemacht habe und ich dadurch zwei brüche erhalten habe, die gleich sind:
lim (n-> [mm] \infty) \summe_{n=1}^{\infty} ((-1)^n)/n [/mm] + [mm] (-1)^n)/n) [/mm] = 2*( lim (n-> [mm] \infty) \summe_{n=1}^{\infty} ((-1)^n)/n)) [/mm]
S=-1+1/2-1/3+1/4........
die geraden n sind positiv, die ungeraden negativ.
Wie kann ich das jetzt mit [mm] \summe_{n=1}^{\infty} [/mm] 1/n²= [mm] \pi²/6
[/mm]
in verbindung bringen?
ich weiß dass die positiven abgesehen vom 1er die reihe ergeben aber was mache ich mit den negativen???
lg Michael
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Hi,
also Partialbruchzerlegung macht hier in meinen Augen keinen Sinn, in deinem Fall ist da wohl auch irgendwas schiefgelaufen (setz mal 1 für n ein).
Was ich ma probieren würd: Spalt doch ma deine Summe in einen positiven und einen negativen Anteil auf, also so:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{2n}}{(2n)^2} [/mm] + [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{2n+1}}{(2n+1)^2}. [/mm] Nun ist [mm] (-1)^{2n} [/mm] = 1, [mm] (-1)^{2n+1}=-1. [/mm] Die Nenner lassen sich ausmultiplizieren und dann größtenteils als Faktor vor das Summenzeichen ziehen. Im rechten Bruch empfiehlt sich dann denk ich ne Partialbruchzerlegung oder so ^^
War aber jetzt nur so ne spontane Idee, kann also auch kompletter Murks sein xD.
Gruß + Viel Erfolg
Sash
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Du siehst den ansatz ja ähnlich wie ich nur laub ich nicht dass das was ich gemacht habe komplett falsch ist.
gibt es hier noch jemanden, der eine idee hat und diese etwas präziser formulieren könnte?
lg Michael
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Hi,
also vielleicht hasts ja meine Antwort missverstanden:
Wir erhalten nach meiner Rechnung die Gleichheit mit
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n)^2} [/mm] - [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n-1)^2} [/mm] . Den rechten Bruch jetzt in partielle Brüche zu zerlegen war ne blöde Idee von mir ^^. Aber wenn man sich die rechte Summe genauer ansieht, dann erkennt man dass sich diese Summe auch schreiben lässt als [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} [/mm] - [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n)^2}. [/mm] Man erhält also insgesamt die Gleichheit mit:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n)^2} [/mm] - [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} [/mm] + [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n)^2}. [/mm] Das auszurechnen ist net besonders schwer denk ich mal... Ansonsten nochma nachfragen  .
Gruß
Sash
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$ [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n)^2} [/mm] $ - $ [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n-1)^2} [/mm] $ .
Aber wenn man sich die rechte Summe genauer ansieht, dann erkennt man dass sich diese Summe auch schreiben lässt als
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} [/mm] $ - $ [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n)^2}. [/mm]
also ich verstehe niht ganz wie du vom ersten auf das zweite kommst?
lg michael
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Hi,
also es ist
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n-1)^2} [/mm] = 1 + [mm] \frac{1}{9} +\frac{1}{25}+...
[/mm]
Betrachte jetzte [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n)^2} [/mm] = 1 + [mm] \frac{1}{4} [/mm] + [mm] \frac{1}{9} [/mm] + [mm] \frac{1}{16} [/mm] + [mm] \frac{1}{25} [/mm] +...
und [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n)^2} [/mm] = [mm] \frac{1}{4} [/mm] + [mm] \frac{1}{16} [/mm] + ... .
Subtrahiert man jetzt die beiden letzteren voneinander erhält man grade die erste Reihe.
Jetzt klar?
Gruß
Sash
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