Reihengrenzwert berechnen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:57 So 05.12.2010 | | Autor: | PaulW89 |
| Aufgabe | Berechnen sie den Reihengrenzwert
[mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{(2k+1)(2k+3)} [/mm] |
Hallo, ich habe leider überhaupt keine Ahnung, wie ich bei dieser Aufgabe vorgehen soll. Macht es Sinn, die Reihe erst in zwei Teile zu zerlegen?
[mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{2k+1} [/mm] * [mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{2k+3}
[/mm]
Wie gehe ich nun weiter vor?
Gruß,
Paul
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Hallo PaulW89,
> Berechnen sie den Reihengrenzwert
>
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{(2k+1)(2k+3)}[/mm]
> Hallo, ich habe leider überhaupt keine Ahnung, wie ich
> bei dieser Aufgabe vorgehen soll. Macht es Sinn, die Reihe
> erst in zwei Teile zu zerlegen?
>
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{2k+1}[/mm] *
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{2k+3}[/mm]
Das macht keinen Sinn.
>
> Wie gehe ich nun weiter vor?
Schreibe den Summanden als Summe von Partialbrüchen:
[mm]\bruch{1}{(2k+1)(2k+3)}=\bruch{A}{2k+1}+\bruch{B}{2k+3}[/mm]
>
> Gruß,
> Paul
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:19 So 05.12.2010 | | Autor: | PaulW89 |
Danke für deine Antwort. Mit dem Begriff Partialbruch kann ich spontan nichts anfangen.
Kann mir bitte jemand genauer Erklären, was ich tun muss?
Gruß,
Paul.
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Hallo Paul,
> Danke für deine Antwort. Mit dem Begriff Partialbruch kann
> ich spontan nichts anfangen.
??? Das macht man doch schon in der Schule, spätestens in der ANA1-Vorlesung ...
Schau mal auf wikipedia nach!
> Kann mir bitte jemand genauer Erklären, was ich tun
> muss?
Nun, du kannst mit dem Ansatz, den Mathepower dir hingeschreiben hat, dieses olle Produkt im Nenner loswerden und zwei Summanden dafür schreiben.
Das gibt eine sog. Teleskopsumme, in der sich die meisten Summanden wegheben.
Nutze die Tatsache, dass [mm]\sum\limits_{k=1}^{\infty}a_k \ = \ \lim\limits_{n\to\infty}\underbrace{\sum\limits_{k=1}^{n}a_k}_{=:S_n}[/mm] ist.
Der Reihenwert ist also der GW der Partialsummenfolge.
Hier also [mm]\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{1}{(2k+1)(2k+3)}=\lim\limits_{n\to\infty}\sum\limits_{k=1}^{n}\left(\frac{A}{2k+1}+\frac{B}{2k+3}\right)[/mm]
Die Koeffizienten [mm]A;B[/mm] gilt es zu bestimmen.
Mache hier [mm]\frac{1}{(2k+1)(2k+3)}=\frac{A}{2k+1}+\frac{B}{2k+3}[/mm] rechterhand gleichnamig und sortiere im Zähler nach Potenzen von [mm]k[/mm].
Dann bestimme durch Koeffizientenvergleich mit dem Zähler der linken Seite [mm]A[/mm] und [mm]B[/mm] (bedenke [mm]1=\blue{0}\cdot{}k+\red{1}[/mm])
Danns schreibe dir eine solche Partialsumme [mm]S_n[/mm] mal hin, schaue, was sich alles weghebt und lasse dann [mm]n\to\infty[/mm] gehen.
(Altenativ kannst du im letzten Schritt mit Indexverschiebungen rumwurschteln)
>
> Gruß,
> Paul.
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 05:48 Mo 06.12.2010 | | Autor: | PaulW89 |
Vielen Dank für eure Tipps. Habe es jetzt irgendwie hinbekommen. :)
schachuzipus: Partialbruch und Koeffizientenvergleich musste ich erst nachschlagen. Habe ich wirklich noch nie gehört.
Gruß,
Paul.
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