Reihenkonvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:39 Mi 18.04.2007 | | Autor: | Zerwas |
| Aufgabe | Untersuche folgende Reihen auf Konvergenz und berechne ggf. ihre Grenzwerte:
(i) [mm] \summe_{n=1}^{\infty}1/2n-1
[/mm]
(ii) [mm] \summe_{n=0}^{\infty}(-1)^n/3^n
[/mm]
(iii) [mm] \summe_{n=1}^{\infty}2^nn!/1*3*5*...*(2n-1)
[/mm]
(iv) [mm] \summe_{n=3}^{\infty}(23)^-^n [/mm] |
(i) keine Ahnung wie ansetzen
(ii) Wurzelkriterium:
[mm] \wurzel[n]{a_n} [/mm] = [mm] \wurzel[n]{(-1)^n/3^n} [/mm] = (-1)/3
Also konvergiert die Folge gegen -1/3
(iii)Ich habe das Quotientenkriterium angewandtund habe dann:
[mm] a_n_+_1/a_n [/mm] = [mm] [2^n^+^1(n+1)!/1*3*5*...*(2n-1)(2n+1)]/[2^nn!/1*3*5*...*(2n-1)]
[/mm]
das kann ich dann kürzen und bekomme:
[2(n+1)]/(2n+1)] = [1+1/n]/[1+1/2n] => der term ist immer größer als 1 und damit konvergiert die Reihe nicht.
(iv) Hier würde ich wieder das Wurzelkriterium verwenden:
[mm] \wurzel[n]{a_n} [/mm] = [mm] \wurzel[n]{23^-^n} [/mm] = 1/23
Habe ich richtig gedacht? und wie setzte ich bei der (i) an?
ICh habe diese Frage in keinem andern Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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hi!
also nr. 1 divergiert!
das ist etwas komplizierter zu zeigen.
dazu musst du teilfolgen der partialsummen nehmen.
willst du es genau sehen oder selbst probieren?
zu nr. 2: es ist die geometrische reihe versteckt!
zu nr 3: muss ich überlegen, sieht aber bei dir nicht schlecht aus
zu nr 4: wie 2tens
vg
micha
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:27 Mi 18.04.2007 | | Autor: | Zerwas |
Danke erstmal für die Hilfe.
Erstmal zu (ii):
d.h. ich kann die Reihe auch schreiben als:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}(-1)^n*(1/3)^n [/mm] und diese Reihe konvergiert falls 1/3 <1 was ja gegeben ist. Korrekt?
der Grenzwert beträgt dann: (-1)*1/[1-1/3]= [mm] (-1)\[2/3] [/mm] = -3/2 Richtig?
Dann zu (iii):
Wieder geometrische Reihe also:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}1*(1/23)^n [/mm] wieder Konvergenz da 1/23 <1 und zwar gegen 1*1/[1-1/23] = 1/(-22/23) = -23/22. Richtig.
Zu (i) hab ich leider keine Ahnung wie es geht und wäre dankbar wenn du es mir zeigen könntest.
Gruß Zerwas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:35 Mi 18.04.2007 | | Autor: | Zerwas |
oopps .. is schon spät ^^
aaallsooo:
$ [mm] \summe_{n=1}^{\infty}(-1)^n\cdot{}(\frac{1}{3})^n [/mm] $ betrachtet mit dem leibnitzkriterium => konvergiert wenn [mm] (1/3)^n [/mm] gg. 0 strebt was gegeben ist
dann:
$ [mm] \summe_{n=3}^{\infty}1\cdot{}\frac{1}{23}^n [/mm] $ kay da hab ich gepennt ;)
also grenzwert ist: [mm] \frac{23}{22}-(\frac{23}{22})^0-(\frac{23}{22})^1-(\frac{23}{22})^2=\frac{23}{22}-1-(\frac{23}{22})-(\frac{529}{484}) [/mm] = [mm] (-\frac{1013}{484}) [/mm] Stimmt das jetzt?
Wie funtz das mit dem Abschätzen? :-[
Danke und fg Zerwas
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Hoi,
uffpasse!!
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}(-1)^n\cdot{}(\frac{1}{3})^n[/mm]
> betrachtet mit dem leibnitzkriterium => konvergiert wenn
> [mm](1/3)^n[/mm] gg. 0 strebt was gegeben ist
Lies das Leibnizkriterium nochmal genau nach! Die Reihe konvergiert, wenn
(1) alle [mm] a_k>0 [/mm] sind
(2) [mm] (a_n)_n [/mm] eine monoton fallende (!!) Nullfolge bildet!!
Zum Glück ist das hier der Fall 
> [mm]\summe_{n=3}^{\infty}1\cdot{}\frac{1}{23}^n[/mm] kay da hab ich
> gepennt ;)
> also grenzwert ist:
> [mm]\frac{23}{22}-(\frac{23}{22})^0-(\frac{23}{22})^1-(\frac{23}{22})^2=\frac{23}{22}-1-(\frac{23}{22})-(\frac{529}{484})[/mm]
> = [mm](-\frac{1013}{484})[/mm] Stimmt das jetzt?
huch? du musst [mm] \left(\frac{1}{23}\right)^0+\left(\frac{1}{23}\right)^1+\left(\frac{1}{23}\right)^2 [/mm] abziehen - da steht doch [mm] \frac{1}{23} [/mm] in der Reihe. Der GW kann ja auch gar nicht negativ sein, du summierst ja lauter positive Zahlen
> Wie funtz das mit dem Abschätzen? :-[
Finde nach dem Vergleichskriterium/Majorantenkriterium eine divergente Minorante, schätze also deine Reihe nach unten gegen eine divergente Reihe ab, dann ist sie als "größere" Reihe erst recht divergent:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2n-1}>\summe_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2n}=\frac{1}{2}\cdot{}\summe_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}
[/mm]
Hier hast du deine divergente Reihe mit der harmonischen Reihe
Gruß
schachuzipus
> Danke und fg Zerwas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:57 Mi 18.04.2007 | | Autor: | Zerwas |
oh nein ... es geht bergab mit mir ^^ .... is vllt besser wenn ich jetzt pennen geh :P sonst passieren mir noch weiter so dumme fehler .... und danke für die Erklätung mit dem Abschätzen :)
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jo, kein Thema
schlaf gut
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Hallo nochmal, Zerwas,
kleine Anmerkung zu Reihe in (iii).
Da reicht deine Begründung mit dem QK nicht aus.
Du musst ja [mm] $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\left|\frac{a_n}{a_{n+1}\right|}$ [/mm] betrachten, und das muss ein festes $q<1$ sein.
Die Tatsache allein, dass [mm] \frac{a_n}{a_{n+1}} [/mm] stets größer als 1 ist, reicht nicht aus, für [mm] n\rightarrow\infty [/mm] geht das gegen 1.
Und für diesen Fall kann man leider keine Aussage treffen
Da musste dir noch was anderes überlegen, fürchte ich
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:23 Do 19.04.2007 | | Autor: | Zerwas |
aber die eins wir nie erreicht, da 2/n > 1/n ist und damit kann man d<1 derart definieren, dass d eine beliebig gering kleinere zahl als 1 ist.
Kann man so nicht argumentieren?
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Hallo,
ja die 1 wird zwar nie erreicht, aber [mm] \lim\limits_{n\rightarrow\infty} [/mm] ist 1
Also geht die Argumentation nicht
Schau dir nochmal genau die Def. des QK an. Da steht's leider
Gruß
schachuzipus
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
und diese Reihe
![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]"){kind=small}
[mm] \frac{1}{1-\frac{1}{23}}=\frac{1}{\frac{22}{23}}=\frac{23}{22}
[/mm]
