Rekurrenz als Klasseneigenscha < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Rekurrenz und Tranzienz sind Klasseneigenschaften bezüglich der Äquivalenzrelation $i [mm] \leftrightarrow j$ (i kommuniziert mit j). \\
Es gelte $i \leftrightarrow j$. Dann gilt:\\
Ist i rekurrent, dann ist auch j rekurrent.\\
und wenn i transient ist, dann ist auch j transient.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo zusammen,
ich habe versucht zu beweisen, dass rekurrenz und tranzienz Klasseneigenschaften sind... ich habe es analog bewiesen...aber mir kommt der beweis nicht ganz schlüssig vor, als ob da noch ein Denkfehler drin ist... kann mir jemand helfen...
ich hoffe der beweis wird richtig angezeigt...ich hatte probleme mit dem eintippen der Formeln...
danke schonmal!
Sei $i\in{I}$ rekurrent und sei $j\in{I}$ ein Zustand mit ${i}\leftrightarrow{j}$.
Dann existieren $n,m\in{\mathbb{N}}$, sodass ${p}_{ij}\left(n\right)>{0}$ und ${p}_{ji}\left(m\right)>{0}$.
zweimaliger Anwendung der Chapman-Kolmogoroff-Ungleichung
es gilt für alle $t\in \mathbb{N}$:
{p}_{jj}\left(n+t+m\right)\geq {p}_{ij}\left(n\right){p}_{ii}\left(t\right){p}_{ji}\left(m\right)
Es sei nun ${m}_{ij}$ die Anzahl, wie oft der zustand j angenommen wird, wenn man in i anfängt.
Wenn i rekurrent ist, gilt , dass ${m}_{ii}=\sum{{p}_{ii}{n}=\infty}$.
Da ${i}\leftrightarrow{j}$ eine Äquivalenzrelation auf dem Zustandsraum I ist, folgt daraus, dass ${m}_{jj}=\sum{{p}_{jj}{m}=\infty}$.
Also ist j rekurrent.
Analog( Beweis für Transienz):
Chapman-Kolmogoroff-Ungleichung zweimal angewendet:
${p}_{ii}\left(n+t+m\right)\geq {p}_{ij}\left(n\right){p}_{jj}\left(t\right){p}_{ji}\left(m\right)$
i transient--> dann gilt, dass ${m}_{ii}=\sum{{p}_{ii}{n+z+m}<\infty}$.
Weil ${i}\leftrightarrow{j}$ eine Äquivalenzrelation auf dem Zustandsraum I ist, gilt ${m}_{jj}=\sum{{p}_{jj}{m}<\infty}$.
Daraus folgt: j rekurrent.
[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:29 Do 17.06.2010 | | Autor: | dummchen |
Kann mir niemand helfen?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:20 So 20.06.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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