matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Hochschulmathe
  Status Uni-Analysis
    Status Reelle Analysis
    Status UKomplx
    Status Uni-Kompl. Analysis
    Status Differentialgl.
    Status Maß/Integrat-Theorie
    Status Funktionalanalysis
    Status Transformationen
    Status UAnaSon
  Status Uni-Lin. Algebra
    Status Abbildungen
    Status ULinAGS
    Status Matrizen
    Status Determinanten
    Status Eigenwerte
    Status Skalarprodukte
    Status Moduln/Vektorraum
    Status Sonstiges
  Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Algebra
    Status Zahlentheorie
  Status Diskrete Mathematik
    Status Diskrete Optimierung
    Status Graphentheorie
    Status Operations Research
    Status Relationen
  Status Fachdidaktik
  Status Finanz+Versicherung
    Status Uni-Finanzmathematik
    Status Uni-Versicherungsmat
  Status Logik+Mengenlehre
    Status Logik
    Status Mengenlehre
  Status Numerik
    Status Lin. Gleich.-systeme
    Status Nichtlineare Gleich.
    Status Interpol.+Approx.
    Status Integr.+Differenz.
    Status Eigenwertprobleme
    Status DGL
  Status Uni-Stochastik
    Status Kombinatorik
    Status math. Statistik
    Status Statistik (Anwend.)
    Status stoch. Analysis
    Status stoch. Prozesse
    Status Wahrscheinlichkeitstheorie
  Status Topologie+Geometrie
  Status Uni-Sonstiges

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenFolgen und ReihenRekursion
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Informatik • Physik • Technik • Biologie • Chemie
Forum "Folgen und Reihen" - Rekursion
Rekursion < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Folgen und Reihen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Rekursion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:30 Di 17.01.2023
Autor: Trikolon

Aufgabe
Gegeben ist die Folge [mm] a_n [/mm] durch
[mm] a_1=1 [/mm] und [mm] a_{n+1}=0,25*(a_n^2)+1. [/mm]
Zeige, dass [mm] a_n [/mm] konvergiert und ermittle den Grenzwert.

Hallo,

im Prinzip war die Aufgabe kein Problem. Per Induktion habe ich gezeigt, dass [mm] (a_n) [/mm] nach oben beschränkt (durch 2) und außerdem monoton steigend ist. Daraus folgt die Konvergenz und der Grenzwert ist 2.

Nun meine Frage: ich habe jetzt noch (ohne Grund ;) ) versucht per Induktion zu zeigen, dass z.B. 100 eine obere Schranke ist. Allerdings scheitere ich daran. Im Induktionsschritt ist dann: [mm] a_{n+1}=0,25*(a_n^2)+1 [/mm] <= 2501 (wenn man [mm] a_n [/mm] <=100 voraussetzt), was offensichtlich nicht passen kann.
Woran liegt das denn?

        
Bezug
Rekursion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:51 Di 17.01.2023
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Nun meine Frage: ich habe jetzt noch (ohne Grund ;) )
> versucht per Induktion zu zeigen, dass z.B. 100 eine obere
> Schranke ist.

Sehr gut! Fördert das Verständnis.

> Allerdings scheitere ich daran. Im
> Induktionsschritt ist dann: [mm]a_{n+1}=0,25*(a_n^2)+1[/mm] <= 2501
> (wenn man [mm]a_n[/mm] <=100 voraussetzt), was offensichtlich nicht
> passen kann.

Wieso sollte das nicht passen?
Du hast erkannt: Gilt [mm] $a_n \le [/mm] 100$, dann folgt erst mal nur sicher [mm] $a_{n+1} \le [/mm] 2500$
Eigentlich willst du ja das andere zeigen, nämlich dass gilt [mm] $a_{n+1} \le [/mm] 100$.

Das gilt eben genau dann, wenn [mm] $0,25*(a_n^2)+1 \le [/mm] 100 [mm] \quad \iff \quad a_n \le \sqrt{396} \approx [/mm] 19.9$, die Nichtnegativität von [mm] $a_n$ [/mm] mal vorausgesetzt.

Das bedeutet: Die Bedingung [mm] $a_{n+1} \le [/mm] 100$ erzwingt [mm] $a_n \le \sqrt{396} \approx [/mm] 19.9$

Macht man das jetzt weiter für [mm] $a_{n_1}$ [/mm] etc wirst du feststellen, dass du dich von oben der 2 annäherst.

Das bedeutet: 100 ist genau dann eine obere Schranke, wenn alle Folgenglieder kleiner gleich 2 sind, d.h. 2 eine obere Schranke ist.
Ist ein Folgenglied größer als 2, wächst die Folge unbeschränkt.

Was du implizit vorausgesetzt hast bei deiner Betrachtung ist ja, dass 100 als obere Schranke auch erreicht werden sollte, das muss für eine obere Schranke ja gar nicht gelten, wie dein Beispiel schön zeigt.

Gruß,
Gono

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Folgen und Reihen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.unimatheforum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]