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Hallo,
ich habe hier die Lösung einer Aufgabe liegen:
ANFANG DER LÖSUNG
Sei k' beliebig.
Es sei gegeben:
[mm] (1-x^2)\summe_{k=k'}^{\infty}\left[a_k (k-1)kx^{k-1}\right]-2(|m|+1)\summe_{k=k'}^{\infty}\left[a_k k x^k\right] [/mm] + [mm] (a^2 [/mm] - [mm] |m|(|m|+1))\summe_{k=k'}^{\infty}\left[a_k x^k\right] [/mm] = 0
Durch Umordnung der Koeffizienten bekommen wir (indem wir die Koeffizienten der verschiedenen Potenzen von x null setzen)
[mm] a_{k+2}(k+1)(k+2) -a_k\left\{k(k-1)+2(|m|+1)k-(a^2-|m|(|m|+1))\right\} [/mm] = 0
ENDE DER LÖSUNG
Ich habe mit der ersten Gleichung jetzt schon alles Versucht: ausgeklammert, umgeformt, in die summe reinmultipliziert usw...., komme aber nicht auf die rekursionsformel.
Liebe Grüße,
Hans Physikus
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0 = [mm] (1-x^2)\summe_{k=k'}^{\infty}\left[a_{k} (k-1)kx^{k-1}\right]-2(|m|+1)\summe_{k=k'}^{\infty}\left[a_k k x^k\right] [/mm] + [mm] (a^2 [/mm] - [mm] |m|(|m|+1))\summe_{k=k'}^{\infty}\left[a_k x^k\right]
[/mm]
= [mm] \summe_{k=k'-1}^{\infty}\left[a_{k+1} k(k+1)x^{k}\right] [/mm] - [mm] \summe_{k=k'+1}^{\infty}\left[a_{k-1} (k-2)(k-1)x^{k}\right] -2(|m|+1)\summe_{k=k'}^{\infty}\left[a_k k x^k\right] [/mm] + [mm] (a^2 [/mm] - [mm] |m|(|m|+1))\summe_{k=k'}^{\infty}\left[a_k x^k\right]
[/mm]
= [mm] \summe_{k=k'+1}^{\infty}(\left[a_{k+1} k(k+1)\right] [/mm] - [mm] \left[a_{k-1} (k-2)(k-1)\right] -2(|m|+1)\left[a_{k} k x^{k}\right] [/mm] + [mm] (a^2 [/mm] - [mm] |m|(|m|+1))\left[a_k x^k\right]) [/mm] + [mm] a_{k'} [/mm] (k'-1) k' [mm] x^{k'-1} [/mm] + [mm] a_{k'+1} [/mm] k' (k'+1) [mm] x^{k'} -2(|m|+1)\left[a_{k'} k' x^{k'}\right] [/mm] + [mm] (a^2 [/mm] - [mm] |m|(|m|+1))\left[a_{k'} x^{k'}\right]
[/mm]
Und jetzt Koeffizienten = 0; ergibt Startwerte und Rekursion.
Vermutlich sind beim Verschieben der Summationsindizes dem Vorgänger Fehler unterlaufen.
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Hallo,
danke Für deine Hilfe.
Wo sind die [mm] x^k [/mm] hin? (rote pfeile)
[Dateianhang nicht öffentlich]
Und was meinst du mit "Und jetzt Koeffizienten = 0; ergibt Startwerte und Rekursion."?
LG,
HP
EDIT: dürften zum schluss nicht auch nur noch [mm] a_{k+2} [/mm] und [mm] a_{k} [/mm] koeeffizienten in der gelichung enthalten sein? sonst kann man ja keine rekursionsformel aufstellen.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Bei dem Wirrwarr an Zeichen sind mir wohl Schreibfehler unterlaufen. Es sollte heißen:
= [mm] \summe_{k=k'+1}^{\infty}(\left[a_{k+1} k(k+1)\right] [/mm] - [mm] \left[a_{k-1} (k-2)(k-1)\right] -2(|m|+1)(a_{k} [/mm] k) + [mm] (a^2 [/mm] - [mm] |m|(|m|+1))a_{k}) [/mm] * [mm] x^{k} [/mm] + [mm] a_{k'}(k'-1)k'x^{k'-1} [/mm] + [mm] (a_{k'+1}k'(k'+1) -2(|m|+1)a_{k'}k' [/mm] + [mm] (a^{2}-|m|(|m|+1))a_{k'}) [/mm] * [mm] x^{k'}
[/mm]
Weil diese Gleichung für alle x gelten soll, muss jeder Koeffizient [mm] b_{k} [/mm] von [mm] b_{k}*x^{k} [/mm] identisch 0 sein. In der Summe sind Koeffizienten von [mm] x^{k} [/mm] mit k [mm] \ge [/mm] k'+1, danach für [mm] x^{k'-1} [/mm] und [mm] x^{k'}. [/mm] Ausformuliert muss also gelten:
0 = [mm] \left[a_{k+1} k(k+1)\right] [/mm] - [mm] \left[a_{k-1} (k-2)(k-1)\right] -2(|m|+1)(a_{k} [/mm] k) + [mm] (a^2 [/mm] - [mm] |m|(|m|+1))a_{k} [/mm] für alle k [mm] \ge [/mm] k'+1
0 = [mm] a_{k'}(k'-1)k'
[/mm]
0 = [mm] a_{k'+1}k'(k'+1) -2(|m|+1)a_{k'}k' [/mm] + [mm] (a^{2}-|m|(|m|+1))a_{k'}
[/mm]
Die letzten beiden Gleichungen liefern dir die Startwerte [mm] a_{k'} [/mm] und [mm] a_{k'+1}, [/mm] mit denen für k [mm] \ge [/mm] k'+1 rekursiv die Werte [mm] a_{k'+2}, a_{k'+3}, [/mm] ... aus der ersten Gleichung berechnet werden können.
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Danke! 
Gruß,
HP
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