Rekursive Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:44 Fr 03.11.2006 | | Autor: | juerci |
| Aufgabe | Man zeige, dass die rekursiv definierte Folge
[mm] x_{1}=\wurzel{c} [/mm] , [mm] x_{n+1}=\wurzel{x_{n}+c} [/mm] , n=1,2,3,...
für c>0 konvergent ist und berechne den Grenzwert. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo, weiß bei diesem Beispiel nicht wo ich anfangen soll. Danke schon im Vorau für die HILFE!!
Mit freunlichen Grüßen J.R.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:36 Fr 03.11.2006 | | Autor: | ullim |
Hi,
um den Grenzwert auszurechnen, kannst Du ja [mm] a=\limes_{n\rightarrow\infty}x_n [/mm] setzten. Dann gilt auch [mm] a=\limes_{n\rightarrow\infty}x_{n+1} [/mm] und man kommt zu quadratischen Gleichung
[mm] a^2-a-c=0 [/mm] die man lösen kann.
mfg ullim
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:05 Fr 03.11.2006 | | Autor: | juerci |
Wie meinst du das, wie komme ich auf die qudratische Gleichung?Ich glaub ich steh gerade voll auf der Leitung!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:21 Fr 03.11.2006 | | Autor: | ullim |
Hi,
[mm] a=\wurzel{a+c} \Rightarrow
[/mm]
[mm] a^2=a+c \Rightarrow
[/mm]
[mm] a^2-a-c=0
[/mm]
mfg ullim
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:41 Fr 03.11.2006 | | Autor: | juerci |
aha, super, auf das wäre ich glaube ich nie gekommen!klingt komplett logisch! aber, wenn ich die gleichung dann löse bekomme ich zwei grenzwerte heraus:
[mm] a_{1}=\bruch{1}{2}+\wurzel{\bruch{1}{4}+c}
[/mm]
[mm] a_{2}=\bruch{1}{2}-\wurzel{\bruch{1}{4}+c}
[/mm]
aber der Grenzwert ist ja eindeutig definiert!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:56 Fr 03.11.2006 | | Autor: | ullim |
Hi,
es gibt aber nur eine von den beiden Lösungen, die größer gleich Null ist. Bei Deiner Folge ist aber jedes Folgenglied [mm] x_n\ge0.
[/mm]
mfg ullim
|
|
|
| |
|
Ich habe auch diese Aufgabe zu rechne. Jedoch mit festem c=2. Ich habe jetzt die Berechnung des Grenzwertes verstanden. Aber wie sieht es mit der Konvergenz aus, wie beweist man, dass diese rekursive Folge konvergiert, bevor an den Grenzwert weiß?
Danke, Philipp
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:16 Mi 08.11.2006 | | Autor: | Wutzara |
Die kann man super über das Monotonieprinzip beweisen. Zuerst beweist man das die Folge streng monoton wächst. Das kann man sehr einfach über die vollständige Induktion beweisen.
Das die Folge eine obere Schranke besitzt ist ebenfalls nachweisbar. Die Folge ist immer kleiner/gleich als [mm] 1+\wurzel{c}. [/mm] Den Nachweis kann man ebenfalls durch vollständige Induktion beweisen.
Wenn beides vorhanden ist, was man ja bewiesen hat, so kann man behaupten das die Folge konvergiert.
|
|
|
|
