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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:15 Mi 03.05.2017 | | Autor: | Fry |
Sei R eine Relation auf M, wobei
M={1,2,3} und R={(1,2),(2,3),(1,3)}
Hallo zusammen :)
Mir geht es jetzt um den Beweis der Transitivät bzw. wie man diesen "schön" aufschreibt.
Wie würdet ihr das schreiben?
Z.B. so?
R ist transitiv, denn
"[mm](1,2),(2,3)\in R\Rightarrow (1,3)[/mm]" ist wahr.
oder vielleicht:
R ist transitiv, denn [mm](1,2),(2,3),(1,3)\in R[/mm]
LG
Fry
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> Sei R eine Relation auf M, wobei
> M={1,2,3} und R={(1,2),(2,3),(1,3)}
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> Hallo zusammen :)
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> Mir geht es jetzt um den Beweis der Transitivät bzw. wie
> man diesen "schön" aufschreibt.
>
> Wie würdet ihr das schreiben?
> R ist transitiv, denn
> "[mm](1,2),(2,3)\in R\Rightarrow (1,3)[/mm]" ist wahr.
Das ist kein für die Situation ausreichender "Beweis".
> oder vielleicht:
> R ist transitiv, denn [mm](1,2),(2,3),(1,3)\in R[/mm]
Dies auch nicht ...
______________________________________________________
Meine Überlegungen, wohl deutlich ausführlicher dargestellt,
als du es erwartet hast:
Die Prämisse "falls (x,y) € R und (y,z) € R , ...." erfordert
stets ein Element y der Grundmenge M , welches sowohl an
erster als auch an zweiter Stelle eines Paares [mm] (a_1 [/mm] | [mm] a_2) [/mm]
aus der Menge R auftreten kann.
Nun kommt von den 3 Elementen der Grundmenge M
--- die 1 nur als Erstelement
--- die 3 nur als Zweitelement
--- und nur die 2 sowohl als Erst- als auch als Zweitelement
eines Paares aus R vor
Die Prämisse ist in der vorliegenden Situation nur für die Paare
(x,y) = (1,2) und (y,z) = (2,3) erfüllt.
Da nun aber das Paar (x,z) = (1,3) ebenfalls zu R gehört,
ist die Transitivitätseigenschaft in diesem einzigen überhaupt
möglichen Testbeispiel, und damit allgemein erfüllt.
Nun kannst du dir ja überlegen, wie du dies deutlich
kürzer fassen könntest ...
(Eine Möglichkeit wäre natürlich auch, eine vollständige
Tabelle aller Möglichkeiten anzugeben !)
LG , Al-Chwarizmi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:22 Mi 03.05.2017 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Fry!
Hier ein weiterer Formulierungsvorschlag (den man bei Bedarf noch um weitere Detailbegründungen ergänzen könnte):
Seien [mm] $x,y,z\in [/mm] M$ mit [mm] $(x,y)\in [/mm] R$ und [mm] $(y,z)\in [/mm] R$.
Zu zeigen ist [mm] $(x,z)\in [/mm] R$.
Wegen [mm] $(x,y)\in [/mm] R$ ist $y=2$ oder $y=3$.
Wegen [mm] $(y,z)\in [/mm] R$ ist $y=1$ oder $y=2$.
Zusammengenommen muss also $y=2$ gelten.
Aus [mm] $(x,2)=(x,y)\in [/mm] R$ folgt $x=1$.
Aus [mm] $(2,z)=(y,z)\in [/mm] R$ folgt $z=3$.
Zusammen erhalten wir wie gewünscht [mm] $(x,z)=(1,3)\in [/mm] M$.
Viele Grüße
Tobias
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