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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:21 Sa 08.01.2005 | | Autor: | Reaper |
Beispiel:
Sei [mm] \approx [/mm] eine reflexive Relation auf einer Menge A. Zeigen Sie, dass [mm] \approx [/mm] genau dann symmetrisch und transitiv ist, wenn aus a [mm] \approx [/mm] b und a [mm] \approx [/mm] c stets b [mm] \approx [/mm] c für beliebige a,b,c aus A folgt.
Also ich weiß jetzt einmal dass ich das Ganze von 2 Seiten her angehen muss. Einmal [mm] \Rightarrow [/mm] und einmal [mm] \Leftarrow.
[/mm]
So wenn ich jetzt [mm] \Rightarrow [/mm] nehme dann:
muss ich zeigen dass a [mm] \approx [/mm] b [mm] \wedge [/mm] a [mm] \approx [/mm] c = b [mm] \approx [/mm] c ist
Ich gehe also davon aus dass a [mm] \approx [/mm] b und a [mm] \approx [/mm] c schon symmetrisch und transitiv sind.
So wenn ich jetzt [mm] \Leftarrow [/mm] nehme dann:
muss ich zeigen dass a [mm] \approx [/mm] b [mm] \wedge [/mm] a [mm] \approx [/mm] c = b [mm] \approx [/mm] c ist
Hierbei muss ich zeigen dass
a [mm] \approx [/mm] b und a [mm] \approx [/mm] c symmetrisch und transitiv sind.
Was ich bei dem Ganzen nicht so ganz kapiere ist dass ich eigentlich keine Formel habe. Ach ich kapier das Ganze einfach noch nicht so richtig
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:00 Sa 08.01.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hi Reaper (wir kennen uns nicht zufällig aus einem Soldat-Spiel, oder?)
also erstmal reflexiv bedeutet, dass alle Paare (x,x) in der Relation enthalten sind.
Wie du schon sagtest musst du zwei Richtungen beweisen:
1) [a $ [mm] \approx [/mm] $ b und a $ [mm] \approx [/mm] $ c [mm] \Rightarrow [/mm] b $ [mm] \approx [/mm] $ c] [mm] \Rightarrow [/mm] " $ [mm] \approx [/mm] $ " ist symmetrisch und transitiv
und 2) die Rückrichtung.
Will dir hier mal unter die Arme greifen und nicht alles lösen:
zu 1)
wenn die linke Seite gilt und du weißt, dass alle Paare (x,x) in der Relation liegen (und A als nicht-leer annimmst, denn dann sind beide seiten trivialer Weise erfüllt)
was folgt dann aus a $ [mm] \approx [/mm] $ b und a $ [mm] \approx [/mm] $ a ? (für alle a, b)
so dieses Ergebnis darfst du dann sofort benutzen:
nimm an: a $ [mm] \approx [/mm] $ b und b $ [mm] \approx [/mm] $ c
wenn du auf dein erstes Paar das ergebnis von eben anwendest, solltest dir etwas auffallen.
zur Rückrichtung 2)
jetzt darfst du davon ausgehen, dass $ [mm] \approx [/mm] $ reflexiv, symmetrisch und transitiv ist, also nimm an:
a $ [mm] \approx [/mm] $ b und a $ [mm] \approx [/mm] $ c
jetzt führe die gleichen Überlegungen wie eben (beim letzten)
naja - jetzt ist es doch ne ziemlich komplette Lösung, aber das geht wohl kaum anders bei dem Thema..
viele Grüße
DaMenge
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:29 So 09.01.2005 | | Autor: | Reaper |
also erstmal reflexiv bedeutet, dass alle Paare (x,x) in der Relation enthalten sind.
Irgendwie kann ich mir darunter nicht wirklich was vorstellen.
Meinst du wenn ich z.b. a [mm] \approx [/mm] b habe dass dann auch (a,a) als auch (b,b) drinnenliegt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:37 So 09.01.2005 | | Autor: | DaMenge |
nein, es bedeutet, wenn deine Grundmenge $ A [mm] =\{ x_{1},..,x_{n}\} [/mm] $ ist, dann sind auf jeden Fall alle Paare $ [mm] (x_{i},x_{i}) \forall [/mm] i=1..n $ in der Relation enthalten, wenn diese reflexiv sind.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:13 So 09.01.2005 | | Autor: | Reaper |
>so dieses Ergebnis darfst du dann sofort benutzen:
>nimm an: a b und b c
>wenn du auf dein erstes Paar das ergebnis von eben anwendest, >solltest dir etwas auffallen.
Das Ergebnis war doch b [mm] \approx [/mm] a, oder? Damit ist gezeigt dass das Ganze symmetrisch ist.
Was mir jetzt nicht klar ist was du im obigen Abschnitt meinst.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:18 So 09.01.2005 | | Autor: | DaMenge |
> Das Ergebnis war doch b [mm]\approx[/mm] a, oder? Damit ist gezeigt
> dass das Ganze symmetrisch ist.
Ganz genau - aus a [mm]\approx[/mm] b hast du b [mm]\approx[/mm] a gefolgert.
> Was mir jetzt nicht klar ist was du im obigen Abschnitt
> meinst.
Naja - nimm doch mal an, dass a [mm]\approx[/mm] b und b [mm]\approx[/mm] c
du willst zeigen, dass dann auch a [mm]\approx[/mm] c gilt (transitivität)
dann mach doch mal aus deinem paar (a,b) das Paar (b,a) - dies darfst du, weil du eben die symmetrie bewiesen hast.
Danach kannst du deine Vorraussetzung der "Hinrichtung" anwenden.
viele Grüße
DaMenge
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