Relaxiertes Jacobi-Verfahren < Lin. Gleich.-systeme < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 18:03 Fr 11.11.2005 | | Autor: | Joergi |
Hallo zusammen,
ich habe ein winziges Problem beim Lösen der folgenden Aufgabe und hoffe sehr, dass man mir ein wenig zur Seite stehen kann!?
Sei [mm]A \equiv L+D+R \in \IR^{nxn}[/mm] eine s.p.d. Matrix, für die das Jacobi-Verfahren konvergiert. das relaxierte Jacobi-Verfahren ist folgendermaßen definiert:
[mm]x^{j+1}=w(-D^{-1}(L+R)x^{j}+D^{-1}b))+(1-w)x^{j}[/mm]. Die Iterationsmatrix sei mit [mm]T_{w}[/mm] bezeichnet.
Nun soll ich folgendes lösen:
a) Zeige, dass die Eigenwerte von [mm]T_{1}[/mm] alle reell sind. Hinweis: Verwende eine Ähnlichkeitstransformation.
b) Zeige, dass [mm]T_{1}[/mm] einen positiven und negativen Eigenwert hat.
c)Es seien mit [mm]\alpha_{min}[/mm] bzw. [mm]\alpha_{max}[/mm] der minimale bzw. maximale Eigenwert von [mm]T_{1}[/mm] bezeichnet. Zeige, dass das relaxierte Jacobi-Verfahren für [mm]w\in(0, \bruch{2}{1-\alpha_{min}})\equiv z[/mm] konvergiert.
d) Bestimme den optimalen Relaxationsparameter, also [mm]w^{**}\in z[/mm], so dass [mm] p(T_{w^{**}})=min_{w\in z}p(T_{w}).
[/mm]
e) Liefert für A das relaxierte Jacobi-Verfahren mit optimalen Relaxationsparameter stets eine schnellere Konvergenz als das nicht-relaxierte Jacobi-Verfahren?
Ich habe mir schon folgendes überlegt:
a) Aus der linearen Algebra weiß man ja, dass eine symmetrische Matrix nur reelle Eigenwerte hat, also sollte man versuchen A durch eine Ähnlichkeitstransformation symmetrisierbar zu machen. Ich denke dass mir das auch gelungen ist.
Setze dazu: [mm]M=-D^{-1}(L+R)=E-D^{-1}A[/mm].
Sei [mm]B:=D^{1/2}[/mm], dann ist [mm]B(E-M)B^{-1}=D^{1/2}D^{-1}AD^{-1/2}=D^{-1/2}AD^{-1/2}[/mm] symmetrisch.
Schreibe ich mir nun diese Matrix hin, dann ist diese tatsächlich symmetrisch, aber jetzt habe ich Probleme bei Aufgabenteil b) weiterzumachen, denn um nachzuweisen, dass es einen positiven und negativen Eigenwert gibt, muss ich das charakteristische Polynom der Matrix berechnen, was ich aber leider nicht hinbekomme, weil ich keine Regelmäßigkeit feststellen kann. Ich benötige also einen Tipp, wie man das anstellen könnte.
Zum Teil d) habe ich auch eine Idee, die poste ich dann wenn ich bei b) weitergekommen bin da ja die Aufgabenteile aufeinander aufbauen!
Vielen Dank schonmal im voraus an alle die sich die Mühe machen!
Gruß
Joergi
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Hallo Joergi,
Leider konnte Dir bei dieser Frage keiner weiterhelfen.
Ich persönlich würde ein wenig Literaturrecherche machen.
z.B. Numerik der linearen Algebra Kielbasinski/Schwetlick
viele Grüße
mathemaduenn
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