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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:54 Di 20.01.2009 | | Autor: | cauchy |
| Aufgabe | Berechnen Sie die Werte der folgenden Integrale mit Hilfe des Residuensatzes:
a) [mm] \int_{|z|=2}{\bruch{\cos{z}}{z^2+1}dz}
[/mm]
b) [mm] \int_{|z|=1}{\bruch{z}{e^{iz}-1}dz}
[/mm]
c) [mm] \int_{|z|=2}{\exp({{\bruch{z}{1-z}}})dz}
[/mm]
d) [mm] \int_{\gamma}{\bruch{z}{\cosh{z}-1}dz}, [/mm] wobei [mm] \gamma [/mm] der positiv orientierte Rand von [mm] G:=\{z=x+iy\in \IC; y^2<(4\pi^2 -1)(1-x^2)\} [/mm] ist. |
Hallo Leute,
ich möchte ganz allgemein fragen, wie man den Residuensatz anwendet.
Er ist bei uns wie folgt definiert:
[mm] \int_{\Gamma}{f(\zeta)d\zeta}=2\pi i\sum_{z\in U}{\mbox{ind}(z,\Gamma) \mbox{res}(f;z)}
[/mm]
Ich kann damit irgendwie nichts anfangen und wäre euch dankbar, wenn ihr mir z. B. ein Beispiel vorrechnen würdet, das muss auch nicht eines der Aufgaben von oben sein, sondern irgendeins woran man das Prinzip versteht.
Ich danke euch, lg, der Cauchy
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:05 Di 20.01.2009 | | Autor: | fred97 |
Ich machs Dir mal bei a) vor.
Sei $f(z) = [mm] \bruch{cosz}{z^2+1 } [/mm] = [mm] \bruch{cosz}{(z+i)(z-i)}$
[/mm]
Überzeuge Dich davon, dass f in i und -i jeweils einen einfachen Pol hat und berechne die zugehörigen Residuen
Nach dem Residuensatz ist dann
$ [mm] \int_{|z|=2}{\bruch{\cos{z}}{z^2+1}dz} [/mm] $ = $ 2 [mm] \pi [/mm] i(res(f,i)+res(f,-i))$
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:27 Di 20.01.2009 | | Autor: | cauchy |
Super, danke, das hat mir echt weitergeholfen!!!
Aber eine Frage hab ich noch... man kommt ja bei der Berechnung darauf, dass man cos(i) berechnen muss. Mein PC spuckt mir natürlich das richtige Ergebnis aus, aber wie kann ich das Ergebnis "per Hand" bestimmen?
LG, cauchy
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:24 Di 20.01.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Super, danke, das hat mir echt weitergeholfen!!!
>
> Aber eine Frage hab ich noch... man kommt ja bei der
> Berechnung darauf, dass man cos(i) berechnen muss. Mein PC
> spuckt mir natürlich das richtige Ergebnis aus, aber wie
> kann ich das Ergebnis "per Hand" bestimmen?
Ja: es ist ja [mm] $\cos(x) [/mm] = [mm] \frac{1}{2}(e^{i x} [/mm] + [mm] e^{-i x})$. [/mm] Wenn du da $x = i$ einsetzt bekommst du [mm] $\frac{1}{2}(e^{-1} [/mm] + e)$.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:44 Di 20.01.2009 | | Autor: | cauchy |
Stimmt... danke, ich wusste, dass es nicht schwer sein kann, aber unter diesen ganzen Formeln kann man ganz schön den Überblick verlieren....
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:48 Di 20.01.2009 | | Autor: | cauchy |
Mein Ergebnis lautet "Null" - ist das richtig?
Grüße, cauchy
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Hallo cauchy,
> Mein Ergebnis lautet "Null" - ist das richtig?
> Grüße, cauchy
>
Ok, das hab ich auch heraus. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruß
MathePower
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