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Residuensatz(Integral rechnen): Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 03:49 So 21.08.2005
Autor: RAT

Die Fage lautet:
Beweisen sie für $-1<a<1$, dass
[mm] \integral_{- \infty}^{ \infty} [/mm] { [mm] \bruch{exp(a*x)}{cosh(x)} [/mm] dx}= [mm] \bruch{\pi}{cos((\pi*a)/2)} [/mm]

Hinweis: Betrachte  [mm] \integral_{ \gamma}... [/mm] wobei  [mm] \gamma [/mm] der positiv orientiere Rand des Rechtecks mit den Ecken [mm] -R,R,R+\pi*i,-R+\pi*i [/mm] ist.

Mein Ansatz ist das Kurvenintegral in die 4 bestandteile Aufzuteilen und über alle einzeln zu integrieren...nur scheine ich da nen Fehler zu machen. Im folgenden ist [mm] \gamma_1 [/mm] der Weg von -R bis R und dann gehts herum gegen den Uhrzeigersinn. Also:

Zuerst [mm] \gamma_2: [/mm]
Parametrisiere: [mm] \gamma_2: t\to [/mm] t+R ; [mm] t\in [/mm] [0, [mm] \pi*i] [/mm]
dann folgt:
[mm] \integral_{\gamma_2} [/mm] {f(t) dt}= [mm] \integral_{0}^{\pi*i} [/mm] { [mm] \bruch{exp(a(t+R))}{1/2(exp(t+R)+exp(-t-R))}dt} [/mm] da -1<a<1 geht das für [mm] R\to\infty [/mm] gegen 0.
Analog geht dann das [mm] \gamma_4 [/mm] Integral gegen 0.

Weiter mit [mm] \gamma_2 [/mm] , das hab ich so parametrisiert:
[mm] -\gamma_3: t\to \pi*i+t; t\in [/mm] [-R,R]

- [mm] \integral_{\gamma_3} [/mm] {f(t) dt}=- [mm] \integral_{-R}^{R} {\bruch{exp(a(\pi*i +t))}{1/2(exp(\pi*i+t)+exp(-\pi*i-t))} dt} [/mm]

da [mm] exp(\pi*i)=exp(-\pi*i)=-1 [/mm] zieh ich das im Nenner raus und kürze es mit dem Minus vorm Integral weg, oben kann ich das [mm] exp(a\pi*i) [/mm] rausziehen und vor das Integral stellen:
[mm] =exp(a\pi*i)\integral_{- R}^{ R} [/mm] { [mm] \bruch{exp(a*t)}{cosh(t)} [/mm] dt}
Ich bekomme also das Integral, das ich berechnen will mit nem Multiplikator davor. Insgesammt sieht es dann so aus(mit Residuensatz und Grenzwertbildung):

[mm] (1+exp(a\pi*i))\integral_{- \infty}^{ \infty} [/mm] { [mm] \bruch{exp(a*t)}{cosh(t)} dt}=2*\pi*i \summe [/mm] Res(f)=(die einzige Nullstelle von cosh im Gebiet ist bei [mm] \pi*i/2, [/mm] das Residuum da ist [mm] exp(a*\pi*i/2)/i)=2*\pi* [/mm]
[mm] exp(a*\pi*i/2). [/mm]

Wenn ich das jetzt umstelle und vereinfache bekomme ich was komplexes raus, was ja nicht sein kann. Ich hoffe mir kann jemand helfen :)
Gruß
RAT

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt

        
Bezug
Residuensatz(Integral rechnen): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:57 So 21.08.2005
Autor: Stefan

Hallo RAT!

Das, was du am Schluss erhältst, ist das Richtige, auch wenn du es nicht sofort siehst. ;-)

Du hast ja:

[mm] $\frac{2 \pi e^{\frac{a\pi i}{2}}}{1 + e^{a\pi i}}$. [/mm]

Kürzen wir das mit [mm] $e^{ \frac{a\pi i}{2}}$, [/mm] so erhalten wir:

[mm] $\frac{2\pi}{e^{-\frac{a \pi i}{2}} + e^{\frac{a \pi i}{2}}}$. [/mm]

Nun ist aber:

[mm] $e^{-\frac{a \pi i}{2}} [/mm] + [mm] e^{\frac{a \pi i}{2}} [/mm] = 2 [mm] \cos\left( \frac{a\pi}{2} \right)$... [/mm]

Na? [lichtaufgegangen]?

Liebe Grüße
Stefan

Bezug
                
Bezug
Residuensatz(Integral rechnen): Danke :)
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:04 So 21.08.2005
Autor: RAT

D'oh...dabei hatte ich da ein paar Werte eingesetzt und das hat nicht geklappt...Vielen Dank, dass du's dir angetan hast den Fehler zu suchen :)

Bezug
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